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Beitrag |
    
julia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 09:48: | 
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Hallo Mitleidende,
ich habe folgendes Problem:
Zu zeigen:
Nichtleere Teilmengen A,B des (R hoch n) haben positiven Abstand, dist(A,B)>0, falls gilt:
A geschnitten B = leere Menge, A kompakt,
B abgeschlossen
Als Idee habe ich einen Widerspruchsbeweis:
dist(A,B) = 0 also A geschnitten B ungleich leere Menge, indem man von der Definition des Abstands dist (A,B) als ein Infimum ausgeht, geeignete Folgen x Element A, y Element B wählt und zeigt, dass die konvergente Teilfolgen besitzen.
merci julia |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 15:29: |
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Genau!
Sei a(n) eine Folge in A und b(n) eine Folge in B mit limn->oo |a(n) - b(n)| = dist(A,B) = 0.
Da A kompakt, existiert eine konvergente Teilfolge a(nk) von a(n) mit Grenzwert in A. Sei a = limk->ooa(nk)
Dann ist 0
= dist(A,B)
= limn->oo |a(n) - b(n)|
= limk->oo |a(nk) - b(nk)|
= limk->oo |a - b(nk)|
Also ist die Folge b(nk) konvergent und
limk->oo b(nk) = a
Da B abgeschlossen, ist a aus B.
Also ist a im Schnitt von A und B. |
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