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Viktor
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 15:40: | 
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Das folgende Integrationsproblem ist einfach zu beschreiben, jedoch leider (für mich) schwer zu berechnen:
Gesucht ist die Fläche auf einer Kugel, die durch den folgenden Vorgang entstanden ist: Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius R. Nun schneide ich die Kugelfoberfläche mit einem symmetrischen Quader der Kantenläne R. Wie groß ist nun die ausgeschnittene Kugelfläche?
Zum besseren Verständnis: projeziert man die gesuchten Fläche auf eine Ebene, so ergibt sich ein Quadrat der Kantenlänge R. Der gesuchte Kugelflächenausschnitt berührt diese Projektion an den vier Eckpunkten.
Vielen Dank für Eure Unterstützung ! |
Reiner
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 21:30: |
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Hallo Viktor, ich rede ungern in eine bestehende Frage rein, ohne gleich was zur Lösung sagen zu können, aber hier scheint mir Klärungsbedarf.
Kann man dein Problem damit vergleichen:
wenn man z.B. mit einem Backförmchen für quadratische Plätzchen in einen Apfel sticht, wie groß dann die Fläche der Apfelschale ist? |
Viktor
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 08:25: |
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Servus Reiner,
das Bild mit der Plätzchenform ist sehr schön und trift genau meine Frage. |
sonny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 20:40: |
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Hallo Viktor,
ich helfe dir mal weiter:
Die Kugelffläche kann in folgender Parameterdarstellung beschrieben werden:
r=(x,y,(R^2-x^2-y^2)^(1/2))
A=(-R/2bis -R/2)(-R/2bis -R/2)int(|rx x ry|dxdy)
das ist alles.
rx = Ableitung des Ortsvektors nach x
ry = Ableitung des Ortsvektors nach y
x= Kreuzprodukt
Führt also auf das Integral:
=(-R/2bis -R/2)=(-R/2bis -R/2)int(R/,(R^2-x^2-y^2)^-(1/2)dxdy)
Bisserl Denkleistung soll auch für euch bleiben
sonny |
Reiner
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 22:38: |
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Ja, danke, sonny, das war genau die richtige Dosis Hilfe für eine Bestätigung meiner Rechnung, ich komme dann auf ein Integral
ò-R/2 R/2 arcsin [1/(4-4y²/R²)] dy, von dem ich noch nicht weiß, wie ich es lösen kann.
Substitution schafft allenfalls mehr Übersicht:
Subst.: t=2y/R => dy = (R/2)dt und damit neue Grenzen -1 bis 1:
ò-1 1 arcsin(1/(4-t²))dt
Wird sich wohl bis zum Wochenende hinziehen.
Aber gut, dass man nicht allein dran sitzen muss. |
Reiner
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 23:33: |
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Da fehlt noch eine Wurzel im Nenner:
ò-1 1 arcsin(1/(4-t²)½)dt |
sonny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 08:03: |
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Kleiner Tip:
Substituiere mit z=1/(4-t²)½)
das entstandene Integral löse mit partieller Integration, indem du u=arcsin(z) wählst.
Dann Hast du ein Integral mit Wurzel und Potenzen, daß sich leichter lösen läßt.
sonny |
Reiner
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 13:57: |
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Hallo sonny,
arcsin(1/(4-t²)½) hat gerade Symmetrie, deshalb gilt für I=ò-1 1arcsin(1/(4-t²)½)dt
I = 2* ò0 1arcsin(1/(4-t²)½)dt
Subst. 1/(4-t²)½ = z führt bei mir über
1/(4-t²) = z²
z-2 = 4-t²
t² = 4-z-2
t = (4-z-2)½
dt/dz = ½(4-z-2)-½*(2z-3)
dt/dz = (4-z-2)-½*(z2)-½*z-2
dt = (4z²-1)-½*z-2 dz
auf
I= 2* ò0 1arcsin(1/(4-t²)½)dt = 2*ò½ 1/Ö3arcsin(z)*(4z²-1)-½*z-2 dz und mit 2=(¼)-½
= (¼)-½*ò½ 1/Ö3arcsin(z)*(4z²-1)-½*z-2 dz
= ò½ 1/Ö3arcsin(z)*(z²-¼)-½*z-2 dz
Jetzt partielle Integration, wobei die Stammfunktion von (z²-¼)-½*z-2 gleich
(16-4z-2)½ = (16z-2(z²-¼))½ = 4z-1*(z²-¼)½ ist (Grenzen jeweils von ½ bis 1/Ö3)
I= [4z-1*(z²-¼)½ * arcsin z] - ò 4z-1*(z²-¼)½ * 1/(1-z²)½ dz und mit 4=2*4½
I= [4z-1*(z²-¼)½ * arcsin z] - J mit J= ò 2*4½z-1*(z²-¼)½ * 1/(1-z²)½ dz
J= ò 2z-1*{ (4z²-1) / (1-z²) }½ dz bzw. J= ò { (4-1/z²) / (1-z²) }½ dz
und jetzt?
Nun ist Viktor nicht mehr allein mit der Auffassung, dass dies schwer zu berechnen sei.
Ich schließe mich der Meinung an.
Wenn ich mich bis hierher nicht verrechnet habe, kann ich ja mal meine verschiedenen Ansätze
für die weitere Rechnung eingeben. |
sonny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 18:18: |
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Hallo,
warum muß das Integral in geschlossener Form darstellbar sein?
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 18:19: |
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Ich meine natürlich:
Warum muß die Lösung in geschlossener Form darstellbar sein?
sonny |
Reiner
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 21:00: |
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Hallo sonny, ganz sicher bin ich mir nicht, ob ich weiß, was "nicht geschlossen darstellbar" heißt:
Heißt das soviel wie "nicht versuchen, exakt zu berechnen, sondern versuchen, anzunähern"? |
sonny
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 02:23: |
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Hallo Reiner,
nimm das Integral aus Kommentar
Freitag, den 06. Juli, 2001 - 00:33
und entwickle es in eine Potenzreihe um t=0 und überprüfe, ob der Konvergenzradius mindestens r=1 ist. Dann Integriere. Vielleicht hast Glück und erkennst eine Potenzreihe, die Du dann in geschlossener Form (sin, cos, exp) darstellen kannst. Zumindest bekommst Du auf diese Art eine Näherungslösung.
sonny |
viktor
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 15:43: |
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Hallo liebe Leute,
ich mein (unser) Problem mal in einem Akt der Verzweiflung in Mathematica eingegeben (ich weiß, ich weiß, das ist nicht sonderlich sportlich) und auch dieses Programm hat versagt.
Nun kann so ein Computer ja auch nicht mehr als ein Mensch + ein Bronstein, aber ich fürchte, das ist wirklich eine harte Nuß. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 19:06: |
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Hallo:
Verzweiflung ist nicht angesagt. Schreibe
I := int(arcsin{(4-t^2)^(-1/2)}*1*dt)
und integriere partiell:
I = t*arcsin{(4-t^2)} +
+(1/2)*int[1/(4-t^2)sqrt(3-t^2)*t dt].
Das Restintegral sei mit J abgekŸrzt.
Schreibe 4-t^2 = (3-t^2)+1 und substituiere
3-t^2 = u^2 ==> t dt = - 2u du ==>
J = - int[1/(u^2+1) du] = - arctan(u)=
- arctan[sqrt(3-t^2)].
PrŸfe nach!
Gruss
Hans |
asga
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 19:34: |
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Hallo!
Hab ein kleines Problem, das aber mit Sicherheit weit unterhalb des bisherigen Niveaus dieser Seite liegt!! Also, bitte nicht lachen!
Ich komme nicht auf die Lösung von int[1/x^2)]. Steht leider nicht in meiner Formelsammlung und bei partieller Integration drehe ich mich nur im Kreis! |
sonny
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 22:03: |
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Hallo Hans,
es gibt noch wirklich Integrationskünstler!
sonny |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 00:03: |
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Hallo asga
Das Integral steht in Deiner Formelsammlung, man muss es nur ein bisschen umformen. Denn eine Stammfunktion von x+{a} ist 1/(a+1)*xa+1. Nun ist aber 1/x²=x-2.
viele Grüße
SpockGeiger |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 07:59: |
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An birdsong,
ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen:
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:00: |
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An birdsong,
ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen:
(2.Versuch)
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:04: |
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An birdsong,
ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen:
(3.Versuch)
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:06: |
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An birdsong,
ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen:
(3.Versuch)
\image {u}
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:10: |
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An birdsong,
mir ist es leider nicht gelungen meine Rechnung ins board zu stellen. Ich komme jedenfalls auf ein ganz anderes Ergebnis.
Ich würde mich freuen, wenn noch jemand das nachrechnet.
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:18: |
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An birdsong,
ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen:
(4.Versuch)
sonny |
Reiner
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:30: |
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Hallo Hans,
Ich habe dich beim Wort genommen und nachgeprÿft. ;-)
mit partieller Integration von
I = ò arcsin { (4-t²)-½ } * 1 * dt
erhalte ich mit f(t)= arcsin { (4-t²)-½ }
und dessen "innerer Ableitung" (-½)(4-t²)-½-1 und dessen innerer Abl. (-2t)
=> f '(t)= [ 1 - (4-t²)-1 ]-½ * (-½)(4-t²)-½-1 * (-2t)
f '(t)= [ 1 - (4-t²)-1 ]-½ * (4-t²)-½ * (4-t²)-1 * t
f '(t) = { 1 / sqrt[ (4-t²) - 1] } * (4-t²)-1 * t
f '(t) = t / [(4-t²) * sqrt(3-t²)]
=>
I = [ arcsin { (4-t²)-½ } * t ] - ò t / [(4-t²) * sqrt(3-t²)] * t dt
I = [ arcsin { (4-t²)-½ } * t ] - ò t² / [(4-t²) * sqrt(3-t²)] dt
Kann sein, dass ich mich hier verrechnet habe.
Aber bei folgendem verstehe ich gar nichts mehr:
ich kann nicht nachvollziehen, wie du mit der Substitution 3-t² = u²
so einfach auf t dt = - 2u du gekommen bist.
Ich mache das so: 3-t² = u² <=> 3-u² = t² => t=(3-u²)½ => dt/du = ½(3-u²)-½ * (-2u)
=> dt = -u*(3-u²)-½ du
oder habe ich etwas ganz falsch verstanden und es soll u=3-t² mit du=-2dt substituiert werden?
Gruss
Reiner |
Reiner
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 08:39: |
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Hallo sonny, würd mich freuen, wenn du deine Bildgröße etwas verkleinern könntest.
(z.B. weniger hoch aufgelöst einscannen)
Ich habe hier Auflösung 800x600 und ich muss das Bild immer hin- und herschieben oder es erst in einen Bildeditor hineinkopieren, um alles auf einmal lesen zu können.
Möglicherweise könnte dann auch der Upload schneller gehen.
Gruß
Reiner |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 11:14: |
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Hallo Reiner :
Sorry, ich habe in der Eile beim Ableiten den
Faktor (-2t) unterschlagen, deine letzte Formelzeile I = ... ist korrekt. So bleibt noch
J = int[t^2*dt/((4-t^2)*sqrt(3-t^2))].
Dein dt = -u*(3-u^2)^(-1/2)du ist genau dasselbe
wie mein t dt = - u du.Das Integral wird
J = - int[(3-u^2)/(u^2+1)*du] = u - 4*arctan(u)
Hoffentlich alles richtig.
Gruss
Hans |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 11:27: |
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Hi,
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sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 11:33: |
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Hallo Reiner,
entschuldige, daß es wieder so groß geworden ist,
aber das liegt wohl daran, daß ich DINA4 genommen habe. Werde in Zukunft DINA% verwenden.
sonny |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 14:54: |
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Hallo Reiner :
Stop reading : noch ein bloeder Fehler meinerseits, bin noch am reparieren. Es ist doch etwas mŸhsamer als ich zunaechst dachte, aber es
laesst sich machen :
int(t^2*(4-t^2)^(-1)*(3-t^2)^(-1/2)*dt) =
arctan[(3+2t)*(3-t^2)^(-1/2)]-
- arctan[(3-2t)*(3-t^2)^(-1/2)]-arcsin(t/sqrt(3))
Hans |
viktor
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 18:34: |
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Servus zusammen,
Hans hat es, genau so gehts! Man muß den arcsin partiell integrieren mit v'=1. Das bestehende Integral kann man dann mittels Partialbruchzerlegung in handliche Kleinintegrale zerlegen, die auf arctan- und arcsin-Funktionen (so sieht es zumindest bei mir gerade aus) führen. Vielen Dank für Eure Mithilfe bei der Lösung meines "seltsamen Integrals".
Sonny, dein Fehler liegt am Anfang bei der Bildung von u': da muß es unter der Wurzel
1-1/(4-t^2)
heißen.
Viktor |
sonny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 21:12: |
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Danke Viktor für den Hinweis
sonny |
Reiner
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 19:48: |
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Bravo, Hans!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 21:52: |
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Thank you, a pleasure. |
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