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Julia
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 15:34: | 
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Hi mal wieder.
Das Semester neigt sich dem Ende zu, und mir fehlen noch ein paar Pünktchen.
Daher bedanke ich mich ganz besonders für jegliche Hilfe!
Sei V c R^n offen, f:V->R^n zweimal stetig diffbar, x0 aus R^n mit f(x0)=0, det(df(x)) ungleich 0 für alle x aus V, und sei Phi(x):= x - (df(x)^-1)*(f(x)).
Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung U(x0), so daß gilt: ist y1 aus U(x0) beliebig und yk:=Phi(yk-1) (d.h. y mit k-1 im Index unten), so konvergiert yn gegen x0 (d.h. gegen eine Lösung der Gleichung Phi(x)=x <=> f(x)=0)
BEMERKUNG: Dies ist der einfachste Fall des sog. Newton'schen Iterationsverfahrens für Funktionen mehrerer Veränderlicher.
Geben Sie die Iterationsvorschrift yk=Teta(yk-1) (d.h. y mit k-1 im Index unten) explizit an im Fall
f:C->C, z->z^p-a
für p aus N, a aus C
Betrachten Sie etwa p=5, a=2+3i und die Startwerte x0=1+i und y0=1,2+0,2i. Berechnen Sie in beiden Fällen yk für einige k und berechnen Sie zur Kontrolle yk^p (d.h. y mit k im Index unten und das ganze hoch p). |
Stefan
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 18:05: |
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Wilkommen im Club, mir fehlen auch noch ein paar Pünktchen für den Schein, aber ich kann Dir leider auch nicht helfen. Aber vielleicht kann uns ja doch jemand unter die Arme greifen. Danke an alle, die den Willen zeigen.
Gruß Stefan |
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