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Sternenstaub
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 17:03: | 
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Hallo,
hier zwei Fragen zum Lebegues-Integral:
1. Motivation des L-Int. ist es ja, den Raum der Riemann-integrablen Funktionen zu vervollständigen. D.h. es soll dann jede L1- Cauchy-Folge konvergieren (Hier bedeutet L1 die L1-Halbnrom ||f|| = Integral(|f|)).
Kann mir jemand ein Beispiel einer L1-Cauchyfolge geben, die im Raum der Riemann-intbaren Fkt. nicht konvergiert?
2. Wie genau ist den das L.-Int. eigentlich definiert? Einmal lese ich, dass hierbei die Fkt. im Gegensatzt zum Riemann-Int. nur von unten und zwar durch halbstetige Fkt. angenähert wird, dann wieder, dass es von oben wie beim R.-Int. gemacht wird, anstelle der Annäherung von unten aber das äussere Mass vom Komplement genommen wird. Was denn nu?
Wäre voll dankbar für eine Antwort und wenn ihr dann noch Lust und Zeit habt schaut doch auch noch mal hier hin und antwortet vielleicht sogar. Mache bald mein Vordiplom und bin echt dankbar für jeden Hinweis.
Danke
Sternenstaub |
sonny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 04:35: |
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Hallo Sternenstaub,
das L-Integral ist sehr genau definiert!
Wenn Du auf deinem Integrationsintervall alle Mengen vom Maß Null wegläßt und es dann alle Eigenschaften wie ein Riemann-Integral hat, dann ist es L-integierbar. |
Sternenstaub
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 10:18: |
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Hallo Sonny,
danke Dir!
Hast Du vielleicht auch noch eine Idee zu meiner ersten Frage?
Sternenstaub |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 19:34: |
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Hallo Sternenstaub
Im Prinzip müsste es jede Folge sein, denn da die L1-Norm nur eine Halbnorm ist, ist der Grenzwert nicht eindeutig. Zum Beispiel konvergiert die Nullfolge unter anderem gegen die Funktion 1Q, die nicht Riemann-integrierbar ist.
viele Grüße
SpockGeiger |
Sternenstaub
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juli, 2001 - 16:37: |
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Hallo,
danke Spockgeiger. Soll 1Q die charakteristische Fkt. der Rationalen Zahlen sein? Und warum sollte die Nullfoge gegen irgendwas anderes konvergieren, als null?
Bitte melde Dich noch mal!
S. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juli, 2001 - 18:37: |
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Hallo Sternenstaub
1Q hast Du richtig interpretiert. Die Konvergenz untersucht man doch mittels der L1-Halbnorm, die sozusagen den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen mißt. Wäre sie eine Norm, dann wäre ein Grenzwert eindeutig, aber alle Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, haben den Abstand 0, und wenn wir das in unserem Beispiel in die Definition einsetzen, folgt ||0-1Q||, und das konvergiert natürlich gegen 0, also ist per Definition der Konvergenz in metrischen/normierten Räumen die Folge 0 konvergent gegen die Funktion 1Q
Wenn wir von der Motivation zum Lebegue-Integral sprechen, ist es finde ich auch nicht so sinnvoll, nach einer L1-Cauchyfolge zu suchen, deren Grenzwert nicht Riemann-integrierbar ist. Die Klasse der Lebegue-intergrierbaren Funktionen ist allein schon aus der Motivation heraus eine größere.
Ich denke, die Motivation ist folgende: In dem Raum der Riemann-integrierbaren Funktionen ist punktweise Konvergenz kein brauchbares Kriterium, da man aus der Klasse rausfliegen kann, oder auch das Integral stimmt nicht.
Eine Hilfe ist dann die gleichmäßige Konvergenz (die im Prinzip die Supremumsnormist), die aber ein sehr unschönes Kriterium ist. Außerdem ist das alles nur für beschränkte Funktionen auf kompakten Intervallen möglich. Daher überlegt man sich eine andere Art zu integrieren, und eine Norm, die im Prinzip dasselbe ist, und findet raus, dass diese Klasse sehr angenehme Eigenschaften hat.
viele Grüße
SpockGeiger |
Sternenstaub
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juli, 2001 - 08:18: |
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Muss mich noch mal genauer damit beschäftigen, vielleicht nerv ich Dich dann noch mal.
S. |
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