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Stefan Hamann (Steffo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 07:32: | 
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f(x,y)= yg(x). Beweisen Sie, dass f genau dann im Nullpunkt differenzierbar ist, wenn g in x=0 stetig ist.
Hat da jemand eine Idee??? Danke im Voraus! Stefan. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 17:12: |
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Hallo Stefan
Eine Funktion ist differenzierbar, wenn alle Richtungsableitungen existieren. Untersucht man eine Funktion f in einem Punkt c auf Differnzierbarkeit, so muss für alle Vektoren z der Grenzwert (f(c+hz)-f(z))/h, wobei h skalar ist und gegen 0 gehen soll.
Setzen wir das alles hier ein mit z=(x,y), so ergibt sich (f(hx,hy)-f(0,0))/h=hyg(hx)/h=yg(hx). Also ist f differenzierbar in 0 gdw der Grenzwert yg(hx) existiert. Meiner Meinung nach ist das ganeu dann der Fall, wenn g im Nullpunkt einen Grenzwert hat (lim(x->0,x<>0)g(x)). Stetigkeit ist nicht notwendig. Denn entweder ist x=0, so ist yg(hx)=yg(0) konstant, oder x<>0. Dann ist wg h<>0 auch yg(hx) immmer ungleich 0.
viele Grüße
SpockGeiger |
sonny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 04:24: |
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Spock Geiger,
leider ist Deine Aussage falsch:
"Eine Funktion ist differenzierbar, wenn alle Richtungsableitungen existieren. "
Beispiel:
f(x,y)=xy/(x^2+y^2) für x,y,<>0
f(0,0)=0
es existieren alle Richtungsableitungen in (0,0), die Funktion ist dort aber nicht differenzierbar!
Stefan,
die partiellen Ableitungen in (0,0) existieren und sind in einer Umgebung beschrängt (das kannst Du zeigen)->Differenzierbarkeit.
Differenzierbarkeit: Es müssen die Ableitungen in allen Richtungen existieren -> Steigkeit von g(x).
sonny |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 04:34: |
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Hallo Sonny
Ich habe nicht "alle partiellen Ableitungen" sondern "alle Richtungsableitungen" geschrieben. Dein gegenbeispiel ist in der Richtung (1,1) nicht differenzierbar.
viele Grüße
SpockGeiger |
sonny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 13:18: |
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Hallo SpockGeiger,
ich weiß schon wovon ich rede.
Auch in (1,1)-Richtung existiert die Ableitung und ist 0,5!
Wenn die Ableitung, davon abhängt auf welchem Weg ich mich (0,0) nähere, dann exisiert die Ableitung nicht. Das ist in meinem Beispiel der Fall.
Wenn Du Dich aus einer Richtung näherst, die mit der pos x-Achse den Winkel a einschließt, so kannst Du die Richtungsableitung im Punkt (0,0) mit
cos(a)sin(a) berechnen.
Ich hoffe es wurde klar.
sonny |
sonny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 15:11: |
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Hallo SpockGeiger,
ich muß mein Beispiel korrigieren, was aber nichts am Inhalt meiner Aussage ändert:
Beispiel:
f(x,y)=(x^2)y/(x^2+y^2) für x,y,<>0
f(0,0)=0
die Richtungableitungen sind dann
cos^2(a)sin(a)
die Funktion ist nicht differenzierbar!
sonny |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 15:52: |
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Hallo Sonny
OK, hatte mich vertan.
viele Grüße
SpockGeiger |
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