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Marko
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 08:28: | 
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Hallo Mathe-Genies!
Kann mir evtl. jemand mal etwas ausführlicher erklären, wie ich die folgende Aufgabe lösen kann?
Bestimmen Sie die statischen Momente Mx, My und den Schwerpunkt S der nachfolgend aufgeführten (ebenen) Fläche:
Fläche unter der Kurve y= cos x in den Grenzen von x=0 bis x=pi/2.
Bei einer anderen habe ich noch eine Massendicht gegeben, was mache ich dann damit?
Besten Dank schonmal im Vorraus.
Marko |
Marko
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 07:12: |
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Keiner 'ne Idee??
Marko |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 12:51: |
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Hi Marko,
Zur Lösung Deiner Aufgabe benötigen wir die folgenden
Integrale :
(1)
J1 = int [{cos (x )}^2* dx ]
Resultat:
J1 = ½ * ( x + sin x * cos x )
Herleitung durch partielle Integration
J1 = int [ cos x*cos x *dx ] = sin x*cos x - int [ sin x * ( - sin x )*dx ]
= sin x * cos x + int [(1-cos ^2 x ) * dx
= sin x * cos x + int [ dx ] - J1 ; Auflösung nach J1 !
(2)
J2 = int [ {cos (x) }^3 *dx ]
Resultat:
J2 = sin x - 1/3 * ( sin x ) ^3
Herleitung.
Gute Idee : schreibe den Integranden um zu
cos x * ( cos x ) ^ 2 = cos x - cos x * (sin x) ^ 2
und integriere gliedweise.
(3)
J3 = int [x * cos x * dx ]
Resultat durch partielle Integration:
J3 = x * sin x + cosx
(4)
J4 = int [x ^ 2 * cos x * dx ]
Resultat durch zweimalige partielle Integration:
J4 = x^2 * sin x + 2 x * cos x - 2 * sin x
J5 = int [ cos x * dx ]
Resultat : J5 = sin x
no comment !
Alle gesuchten Grössen kannst Du mit Doppelintegralen berechnen,
in denen die obigen einfachen Integrale auftreten.
Die Resultate sind
Fläche A unter der Kosinuskurve von 0 bis Pi/2 : A = 1
Koordinaten des Schwerpunktes dieser Fläche :
xS = Pi/2 - 1 , y S = Pi / 8
Geometrische Trägheitsmomente
bezüglich der x-Achse: Jx = 2/9
bezüglich der y - Achse Jy = ¼ * (Pi)^2 - 2
Herleitung auf Wunsch !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Marko (Amesi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 17:54: |
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Herzlichsten Dank auch!
Marko |
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