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Heiko (Naka2)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 23:28: | 
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Hallo ,man hat folgende Reihe: S=2+3/4+9/32+...
wie sehen die nächsten Glieder aus, welche Vorschrift liegt hier vor ?
Gruss,
Heiko |
crayfish
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 00:51: |
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Hallo Heiko, auf den ersten Blick ergibt sich durch bloßes "Ansehen" der Glieder die Vorschrift
an = 24 * 2-3n * 3n-1,
aber dies ist nicht zwingend die einzige Möglichkeit. Es spricht nur bei den von dir angegebenen Gliedern nichts dagegen, dass es so ist.
Es gibt unendlich viele, nur, diese ist eine der "einfachsten", wobei ich "einfach" leider nicht definieren kann.
Die nächsten Glieder wären in obigem Falle 27/256, 81/2048 |
Heiko (Naka2)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 09:09: |
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Danke crayfish.Das ist schon erstaunlich , was man alles so durch bloßes Hinsehen erreichen kann.
Für diese Art der Aufgaben gibt es keine Denkstrategie oder ?
Gruss,
Heiko |
crayfish
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 00:58: |
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Hallo Heiko, wie gesagt, die Lösung ist nicht zwingend so, die folgenden Ratschläge gelten deshalb nur dafür, möglichst schnell eine einfache Lösung zu finden, mit der derjenige leben können muss, der diese Aufgabe gestellt hat, weil sie eben auch passt, aber nicht, ausgerechnet die Lösung zu finden, die der Aufgabensteller gemeint hat.
Eine arithmetische Folge, also eine, wo die Glieder sich um eine konstante Zahl unterscheiden, kann man ja ausschließen, da der Abstand 2-3/4=5/4=40/32 nicht derselbe ist wie die Differenz 3/4-9/32=24/32-9/32=15/32.
Theoretisch denkbar wäre eine Folge, die auf der Differenzenfolge deiner Folge beruht:
betrachte die beiden oben errechneten Differenzen 40/32 und 15/32.
Ihre Differenz wiederum ist 25/32, so dass man erwarten könnte, dass die Differenz der nächsten Differenz des dritten (9/32) und vierten (noch unbekannten) Folgengliedes sich wieder um 25/32 unterscheiden, so dass man auf eine Differenz zwischen dem dritten und vierten von 15/32-25/32= - 10/32 kommt, so dass das vierte Glied dann heißt:
19/32 und das übernächste 54/32.
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Fragst du nach einer "Denkstrategie", kann ich dir die Rechenmethode nennen, die auch darauf führt:
Mache einen Polynomansatz, der soviele Gleichungen und Variablen beinhaltet, wie dir Folgenglieder zur Verfügung stehen:
a*10 + b*11 + c*12 = 2
a*20 + b*21 + c*22 = 3/4
a*30 + b*31 + c*32 = 9/32
Dessen Lösungen sind a=129/32, b= -155/64, c=25/64
Deine Folge entstünde dann nach der Bildungsvorschrift
an=129/32 - 155/64*n + 25/64*n²
Mache die Probe: setze nacheinander 1, 2, 3, 4, 5, ... für n ein, und es ergeben sich die oben schon angegebenen Glieder.
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Diese Sache mit der obigen Bildungsvorschrift liegt aber sehr fern, denn wenn man etwas geübt ist im Erkennen von "einfachen" Zahlen, natürlichen Zahlen, die im Bereich von 1 bis um die 100 liegen, sticht einem bei deiner Folge sofort was ins Auge, das geht natürlich nur so lange gut, wie man Zahlen in diesem Bereich vorgelegt bekommt.
Man könnte viel schneller eine geometrische Folge erkennen.
Ich habe mir die Nenner 4 und 32 deiner Folge angeschaut und bemerkt, dass die beiden Vielfache von 4 sind, die letzten beiden Zähler sind Vielfache von 3.
Im ersten Glied kommt der Faktor 3 gar nicht vor, man kann aber so tun, als enthielte es einen Faktor 30:
2*30, 31/4, 32/32
In jedem Folgenglied kommt also ein Faktor 3 hinzu, allgemein steckt also schonmal ein Term 3n-1 drin, das ist der letzte Faktor von meinem gestern angegebenen Term.
Die 4 und die 32 im Nenner unterscheiden sich um den Faktor 8:
32:4=8
Der Nenner des ersten Folgengliedes müsste deshalb 4:8=½ sein, kurz überlegen - Glück gehabt, 2 ist ja gleich 1/(½), somit passt die Folge in das Schema
30/½, 31/4, 32/32, wobei sich die Nenner jedesmal um Faktor 8 vergrößern:
Dies kann man verallgemeinern:
30/(2-1), 31/(22), 32/(25),
Jetzt erkennt man, dass die Exponenten der 2 im Nenner immer um 3 wachsen, also heißt der zweite Faktor aus meinem gestern angegebenen Folgenterm 2-3n. Den Zähler haben wir ja bereits mit 3n-1 festgelegt.
Also ist das Grundgerüst der Folge schonmal sowas wie 2-3n * 3n-1.
Fehlt nur noch ein von n unabhängiger Faktor, der sich leicht ermitteln lässt, wenn man n=1 setzt:
Für n=1 ist 2-3n * 3n-1= 2-3 * 30 = 2-3, der erste Term lautet aber 2, also multipliziere alle Folgenglieder von 2-3n * 3n-1 mit 24, und es ergibt sich die oben angegebene Bildungsvorschrift für die Folge:
an=24 * 2-3n * 3n-1.
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Streng methodisch lässt sich dies wieder erreichen, indem man ein Folgenglied durch das darauffolgende teilt (oder umgekehrt, je nachdem, ob die Glieder kleiner oder größer werden):
2 : 3/4 = 8/3,
3/4 : 9/32 = 8/3, so wird das Gesetz ganz schnell deutlich (lässt meiner Meinung nach dann aber zuwenig Raum für Phantasie):
Die Folge könnte zustandegekommen sein, indem man 2 immer wieder mit 3/8 multipliziert, um das nächste Glied zu erhalten.
Das läuft hier auf dieselbe Bildungsvorschrift hinaus wie schon angegeben:
an= 2 * (3/8)n-1 = 24 * 2-3n * 3n-1
Wolltest du vielleicht auch wissen, ob die Reihe einen endlich großen Wert hat? |
Basti
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 01:14: |
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Hi Crayfish,
nimms mir nicht übel, aber ich find Deine Erklärung grad ziemlich abschreckend...
Wenn ich mir die Reihe angucke, denk ich spontan (wg. 2. und 3. Glied): Zähler mal 3 und Nenner mal 8; das stimmt dann auch für's erste Glied, also ist das wohl gemeint...
(Ist genau Deine Formel, nur wenn ich die sehe wird mir übel, sorry, aber ich find solche Formeln schaden der Anschauung!)
Nix für ungut!
Basti |
Heiko (Naka2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 21:55: |
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Hi Crayfish, muss mich nochmal für Deine ausführliche Antwort bedanken.
Hast mir damit schon sehr geholfen,genau so eine Antwort habe ich mir erhofft.Wenn man in Mathe nicht so den Durchblick hat ,ist sie sowieso nicht anschaulich und man braucht braucht eben eine Methode.
Ob die Reihe einen endl. grossen Wert hat interessiert im Moment nicht.
Danke,
Heiko |
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