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Beitrag |
    
Tobias Wieland (Mbstudi)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 22:11: | 
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Hallo
Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe
Die Hyperbelfunkition sinh(z), cosh(z) seinen definiert durch
sinh(z)=½(exp(z)-exp(-z))
cosh(z)=½(exp(z)+exp(-z))
z ist Element der Komplexen Zahlen
a.) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung von sinh(z) und cosh(z) um den Punkt x = 0.
b.) Beweisen Sie:
sinh(z)=-i sin(iz)
cosh(z)=cos(iz)
c.) Beweisen Sie:
(cosh(z))²+(sinh(z))²=(cosh(2z))
(cosh(z))²-(sinh(z))²= 1
Vielen Dank für euere Hilfe |
Ganymed
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 20:29: |
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Das letzte Mal, als du die Überschrift Brauche Hilfe DRINGEND benutzt hast, konnte ich das Gefühl nicht loswerden, dass du's nicht gebrauchen konntest.
Darf die Potenzreihenentwicklung von exp(z) als bekannt vorausgesetzt werden? |
Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 22:21: |
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Aber ich könnte Hilfe dringend gebrauchen. Denn ich muß dieselbe Aufgabe lösen und brauche noch ordentlich Punkte für den Schein.
Eure Mühe wird nicht umsonst sein. |
Tobias Wieland (Mbstudi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 21:23: |
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Die Potenzreihenentwicklung von exp(z) ist mir bekannt. |
Tobias Wieland (Mbstudi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 21:29: |
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Wäre wirklich nett wenn mir jemand helfen könnte, habe nämlich überhaupt keinen Schimmer wie ich die Aufgabe lösen kann. |
sonny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 14:24: |
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hallo Tobias,
die Lösung ist nur Schreibarbeit, zu der offensichtlich niemand Lust hat.
1. setze die exp(z) Reihe in die definition von sinh(z) und cosh(z). Da Potenzreihen absolut konvergent sind, darfst Du umsortieren un zusammenfassen.
Damit hast Du schon a) gelöst.
wie Die Potenzreichen sin(z) und cos(z) aussehen solltest Du schon wissen.
z durch iz ersetzen mit -i multiplizierern, dann sollte sinh(z) rauskommen weiter analog.
c)
Mit der Definition über exp(z) rechnen.
sonny |
Ganymed
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 16:30: |
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exp(z)=S¥ n=0 zn/n!
a)
sinh(z)=½(exp(z)-exp(-z))=½(S¥ n=0 zn/n! - S¥ n=0 (-z)n/n! )
= ½ S¥ n=0 [zn-(-z)n]/n!
Wenn n gerade ist, ist zn-(-z)n = 0, ist n ungerade, gilt zn-(-z)n = 2zn.
Der Laufindex n kann dargestellt werden durch ungerade n mit n=2m+1, m starte dann jeweils mit 0, so sind die Reihen identisch:
= ½ S¥ m=0 z2m+1/(2m+1)!
Dies ist die Potenzreihenentwicklung von sinh(z).
Analog geht die für cosh(z), weil sich dabei alle ungeraden Potenzen von z und -z gegeneinander aufheben.
Wenig Zeit, später vielleicht mehr. |
Ganymed
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 16:38: |
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Der letzte Vorfaktor ½ ist zuviel. (hebt sich gegen die 2 vom 2zn=2m+1 weg)
Die Formulierung in der Formatiersprache lässt schnell den Überblick verlieren, wo was steht und wo nicht. |
Ganymed
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 17:21: |
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b)
Dürfen die beiden folgenden Gleichungen als bekannt vorausgesetzt werden:
(I) eiz=cos(z)+i*sin(z)
(II) e-iz=cos(z)-i*sin(z) ?
Dann kann mans so machen
(I)-(II) => eiz-e-iz=2i*sin(z) => sin(z)=[eiz-e-iz]/(2i)
und analog
(I)+(II) => cos(z)=[eiz+e-iz]/(2)
setze iz für z ein =>
-isin(iz)=-i*[ei*iz-e-i*iz]/(2i)=-[e-z-ez]/2 = [ez-e-z]/2 = sinh(z)
analog für cosh(z)
c2)
kürze ab: exp(z)=x => exp(-z)=1/exp(z)=1/x und damit lässt sich sinh(z) schreiben als
sinh(z)=½(x - 1/x)
und analog
cosh(z)=½(x + 1/x)
(cosh(z))²-(sinh(z))²
= ¼[ (x + 1/x)² - (x - 1/x)² ]
= ¼[ x² + 2 + 1/x² - x² + 2 -1/x²]
= ¼*4
= 1 |
Tobias Wieland (Mbstudi)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 20:48: |
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Danke für Eure Hilfe |
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