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Stephan (Peiffi)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 19:30: | 
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Wie kann ich erkennen wann ich welche Tntegrationsmethode (Substitution oder partielle Integration) benutzen sollte?
Lassen sich beide Methoden gleichwertig anwenden?
Ich danke euch
Stephan |
crayfish
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 22:21: |
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Hallo Stephan, ganz klar: meist kann nur eine zum Ziel führen, überlege doch:
-partielle Int. ist Umkehrung der Produktregel fürs Ableiten,
-Substitution die der Kettenregel.
Um eine Funktion abzuleiten, ist oft nur eine Methode möglich. Das gleiche gilt dann für den Rückweg.
Also: keine gleichwertige Anwendbarkeit
Was das Erkennen betrifft:
Integration ist ein Spiel öfteren Versuches und weglassen des Misserfolges, gibt keine pauschale Regel, welche Methode bei etwas komplizierter aussehenden Integranden zum Erfolg führt.
Kleiner Hinweis:
bei der partiellen Integration
ò (u'*v) = [u*v] - ò (u*v')
musst du für den einen Teil [u*v], der scheinbar "gratis" als Stammfunktion anfällt, damit bezahlen, dass du den andern Teil u*v' dann doch integrieren musst.
Dabei kannst du allerdings vorher schon absehen, ob sich was vereinfacht, da in das verbleibende Integral die Ableitung v' von v eingeht, deren Grad sich bei ganzrationalen Funktionen vereinfacht. Bei echt gebrochenen Funktionen vereinfacht sich leider seltener was. Höchstens wenn v eine Logarithmusfunktion ist, kann es noch vorteilhaft sein, partielle Int. durchzuziehen.
Oder der "Trick" bei Integration trigonometrischer Funktionen, wo man nach zwei- oder mehrmaliger Integration wieder den Integranden als Subtrahenden dastehen hat (wenn also ò (u*v') ein Vielfaches von ò (u'*v) ist), dann kann man diesen auf die linke Seite bringen und die entstandene "Bestimmungsgleichung" für das Integral durch den störenden Faktor teilen.
Bei der Substitutionsmethode ist, außer bei den ganz einfachen Sachen, wo man dem Integranden schon ansieht, dass eine Funktion und ihre Ableitung gemeinsam darin stehen, meiner Meinung nach keine so einfache Absehbarkeit mehr möglich.
Ich würde sagen: versuche einige Ansätze zur partiellen Integration, und wenn die alle nicht weiterführen, steige um auf Substitution, vorausgesetzt, die Funktion lässt sich nicht mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung in elementar (dann meist mit Substitutionsmethode) integrierbare Funktionen zerlegen.
Zusätzlich natürlich immer Integraltabellen bereit halten, um die Lösung vorwegzunehmen, diese dann abzuleiten und von der dabei benutzten Ableitungsmethode auf die Integrationsmethode schließen. |
Stephan (Peiffi)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 07:19: |
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Danke |
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