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PePe
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 13:04: | 
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Hallo Leute,
Man zeige, dass in jedem Euklidischen Vektorraum V für alle Vektoren v,w elementvon V die Gleichung
||v+w||² + ||v-w||² = 2 ( ||v||² + ||w||²)
gilt. Inetrpretiere diese Gleichung geometrisch.
Danke, PePe |
Ganymed
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 20:19: |
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Hallo, bevor's verschollen ist, versuch ich's mal:
Man kann wohl annehmen, dass
(1) ||x|| = Ö<x,x> mit <x,y> = Skalarprodukt der Vektoren x und y
(2) "Kommutativgesetz" (darf man das so nennen?):
<x,y> = <y,x> und "Distributivgesetze" (darf man das sagen?):
(3)<a+b,c> = <a,c> + <b,c> sowie <a,b+c> = <a,b> + <a,c> und
(4) <n*a,b> = n*<a,b>
gelten. (3) und (4) kann man auch "Linearität" nennen, glaub ich.
Dann wird die linke Seite von
||v+w||² + ||v-w||² nach Gesetz (1) zu
= <v+w,v+w> + <v-w,v-w> und nach Gesetz (3) zu
= <v,v> + <v,w> + <w,v> + <w,w> + <v,v> + <v,-w> + <-w,v> + <-w,-w>
und nach einiger Benutzung der Gesetze (2) und (4) wird dies zu
= 2*<v,v> + 2*<v,w> + 2*<w,w> - <v,w> - <v,w>
= 2*<v,v> + 2*<w,w> und nach
= 2 ( ||v||² + ||w||²)
Das ganze kann man geometrisch am Parallelogramm deuten:
Die Summe der Quadrate der Diagonalen im Parallelogramm ist gleich der doppelten Summe der Quadrate der Seiten. |
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