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Timo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 21:18: | 
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Hallo,
wir haben gerade mit Differentialgleichungen angefangen und ich hab´überhaupt keine Ahnung.
Kann mir bitte jemand helfen folgende zu lösen?
a) y´=e^(x+y)
b) y´=(1/x)y+1
c) y´=y(1+log x)
d) (x-y)y´=x+y
mfG, Timo. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 13:33: |
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Hallo.
Hier ein paar Hinweise. Bei allen Beispielen
handelt es sich um separierbare Dgln., d.h. die
Variablen koennen getrennt werden.
a) y'*e^(-y) = e^x <==> (d/dx)[e^(-y)]= - e^x
b) Substituiere y = x*w ==> y' = x*w' + w.
Die Dgl. fŸr w lautet dann w' = 1/x.
c) y'/y = 1 + log(x) <==> (d/dx)[log(|y|)]=1+log(x) = (d/dx)[x*log(|x|)]
d) Dieselbe Substitution wie bei b) ergibt
x*w' + w =(1+w)/(1-w)<==> w'{(1-w)/(1+w^2)} = 1/x
<==> w'/(1+w^2) - w'*w/(1+w^2) = 1/x <==>
arctan(w) - (1/2)log(1+w^2) = log(|x|) + C.
mfG
Hans |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 13:41: |
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a) getrennte Variablen
y' = dy/dx = exey
=> e-ydy = exdx integrieren
=> -e-y = ex+C nach y umformen
=> y = -ln(-ex-C}
b) Variation der Konstanten
y' = y/x+1
Löse zunächst y'=y/x
(1/y)dy=(1/x)dx => ln y = ln x + C => y=cx
Dann Ansatz y=c(x)x
y'=c'(x)x+c(x) = (c(x)x)/x + 1 (=y/x+1)
=> c'(x)x=1 => c'(x)=1/x => c(x)= ln(x)+k
Insgesamt : y(x)=xln(x)+kx
c) Siehe a)
d) Hm...müßte mit einer Substitution gehen,vermutlich u=x/y,aber ich weiß nicht,ob es nicht noch eine leichtere gibt. |
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