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Zylinder- / Kugelkoordinaten

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Mathematik für Ingenieure » Zylinder- / Kugelkoordinaten « Zurück Vor »

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Jan von Hollen (Cherusker)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 19:34:   Beitrag drucken

Hallo
Es wäre nett wenn mir mal jemand kurz beistehen könnte, denn entweder habe ich die falschen Bücher, oder ich bin einfach zu blöd.

Was ist das Geheimnis dieser beiden Koordinatenarten? Wann kann/muß ich welche anwenden.
Ich habe hier z.B. eine Aufgabe, in der ich das Restvolumen einer Kugel ausrechnen soll, die zentrisch durchbohrt wurde. In der Mitte habe ich also einen Zylinder, aber außen ja immer noch runde Flächen (wo nicht durchgebohrt wurde). Ich würde da als erstes an Kugelkoordinaten denken, aber in der Lösung wird ganz selbstverständlich von Zylinderkoordianten ausgegangen.
Mache ich hier vielleicht einen ganz falschen Denkansatz?
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Jan von Hollen (Cherusker)
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 16:05:   Beitrag drucken

Nachtrag:

Noch eine Frage zu den Kugelkoordinaten, dabei wird bei einer normalen Kugel r über den Bereich 0-R integriert, phi über den Bereich 0-2*Pi, theta aber nur über 0 bis Pi, warum muß hier nicht über 2*Pi integriert werden?
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sonny
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 17:24:   Beitrag drucken

hallo cherusker,
ein Muß gibt es nicht. Bei ungünstiger Wahl kann die Rechnung etwas aufwendiger sein. Es ist nicht immer von vorneherein einsichtig, welches das angepaßte Koordinatensystem ist. So als kleiner Anhaltspunkt:
-Ist für das Problem keine Richtung ausgezeichnet verwende kartesische Koordinaten.
-Sieht das Problem In jeder Richtung gleich aus, verwende Kugelkoordinaten.
-Gibt es eine Symmetrieachse verwende Zylinderkoordinaten und lege die z-Achse in Symmetierichtung.

Zum Nachtrag:
wenn du für konstantes Theta über Phi und r integrierst hast du eine Scheibe. Nun mußt du alle Scheiben der Kugel "addieren".
welchen Winkel mußt du überstreichen, um alle Scheiben erfaßt zu haben? Antwort: 180°.

sonny
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Urdu
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 19:03:   Beitrag drucken

Hallo sonny, schoen, dass du dich dazu geaeussert hast. Zum konkreten Problem habe ich mir ganz schoen den Kopf zerbrochen, aber nichts produktives zustandegebracht. Da Jan nach einem Buch fragte: Im Bronstein (bei mir Kap. 4.2.2.2) steht es auch so drin: bei axialsymmetrischen Problemen empfiehlt sich die Benutzung von Zylinderkoordinaten.

Jan, mich hat diese Frage auch deswegen interessiert, ob du fuer den Fall des Kugelkoordinatenansatzes was brauchbares erhalten hast, weil ich da naemlich nur Muell zustandebekommen habe.
Obwohl sich da eigentlich im Schwierigkeitsgrad nicht soviel unterscheiden duerfte, finde ich, dass es mit Zylinderkoordinaten ganz klar leichter gehen muesste, denn bei Kugelkoordinaten muss man beruecksichtigen, dass die unteren Integrationsgrenzen fuer q und r zusammenhaengen, da der Radiusvektor nicht vom Ursprung losgeht, sondern von der Oberflaeche des einbeschriebenen Zylinders. Zusaetzlich ist die obere Grenze fuer q noch vom Zylinderradius abhaengig.

Bei Zylinderkoordinaten haengt die untere Grenze fuer r von nichts weiter ab, sie ist immer gleich dem Zylinderradius, dafuer ist die obere Grenze fuer r gleich dem aeusseren Radius der Kreisringscheibe in der Hoehe z, welcher also von z abhaengt.

Ich faende es ganz schoen, wenn du die Beispielrechnung mit Zylinderkoordinaten mal hier reinstellen wuerdest, dann koennten wir gemeinsam die Rechnung mit Kugelkoordinaten durchgehen.

Mir faellt noch was zum Nachtrag ein:
wenn man trotz axialsymmetrischen Problems keine Zylinder- sondern Kugelkoordinaten verwenden will, die Lage des Objekts aber nicht aendern moechte, ist es angebracht, zu ueberlegen, ob man nicht von 0 bis p zu integrieren hat, sondern stattdessen vielleicht von -p/2 bis p/2.
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Jan von Hollen (Cherusker)
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Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 19:02:   Beitrag drucken

Hallo
Vielen Dank erstmal für Eure Hilfe. Bin beim Thema Mehrfachintegrale jetzt schon weiter, und hinter die Geschichte mit der zentrischen Bohrung bin ich auch schon hintergestiegen.

Wenn möglich, werde ich bei Zeiten versuchen die Beispielrechnung für die Zylinderkoordinaten hier reinzustellen, werde mich vorher aber erstmal mit dem einstellen von Zeichen hier beschäftigen müßen.
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Kröte0815
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Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 15:59:   Beitrag drucken

Hallo :-D

Ich habe das Problem mal mit beiden Verfahren durchgerechnet:


Skizze
Der Kugelmittelpunkt liege im Ursprung.


Verwendete Symbole:
feste Werte:
R Kugelradius
c 'C'ylinderradius
variable Werte:
f Laufvariable für Azimutwinkel
r Laufvariable für den Radius bei Zylinderkoordinaten
z Laufvariable für Höhe über Ursprung bei Zylinderkoordinaten
q Laufvariable für den Polarwinkel bei Kugelkoordinaten


1. Kugelkoordinaten:

Volumenelement dV = r²sinq df dr dq


Der Skizze kann man entnehmen, dass q von arcsin(c/R) bis p/2 läuft, da sinq von c/R bis sin(p/2) läuft. Damit ist der Polarwinkel über die Hälfte des Körpers hinweggestrichen,
also Faktor 2 vor das Integral, da die fehlende Hälfte nochmal dasselbe ergibt.

r läuft von r- bis r+, wobei r+=R ist und r- folgendermaßen mit q
zusammenhängt:
sinq = c/R-, also ist r-=c/sinq
Die Integration über f von 0 bis 2p liefert den Faktor 2p.


V = 2 * 2p * òarcsin(c /R)p/2 òc/sinqR r² sinq dr dq

= 4p * òarcsin(c /R)p/2 [r³/3]c/sinqR sinq dq

= 4p/3 * òarcsin(c /R)p/2 {R³-(c/sinq)³} sinq dq

= 4p/3 * òarcsin(c /R)p/2( R³sinq - c³/(sin²q) )dq

= 4p/3 * [ -R³cosq + c³cosq/sin(q) ]arcsin(c /R)p/2

= 4p/3 * [ (c³/sin(q) - R³)cosq ]arcsin(c /R)p/2

= 4p/3 * { 0 - (c³/(c/R) - R³)cos(arcsin(c/R)) }, cos(arcsin(c/R))=Ö(1-c²/R²)

= 4p/3 * ( - (c²R - R³)Ö(1-c²/R²) )

= 4p/3 * ( (R² - c²)RÖ(1-c²/R²) )

= 4p/3 * ( (R² - c²)Ö(R²-c²) )

= 4p/3 * (R²-c²)3/2
===============


2. Zylinderkoordinaten:


Der Skizze kann man entnehmen, dass r von r-=c bis r+=Ö(R²-z²) läuft.
Danach wird über z integriert, dies läuft von z-=0 bis z+=Ö(R²-c²)
Damit wird nur die Hälfte des Körpers erfasst, deshalb noch Faktor 2 vor das Integral.
Die Integration über f von 0 bis 2p liefert den Faktor 2p.

Volumenelement dV=rdfdrdz


V = 2 * ò0Ö(R²-c²) òcÖ(R²-z²) ò02p rdfdrdz


= 2 * 2p * ò0Ö(R²-c²) òcÖ(R²-z²) rdrdz

= 4p * ò0Ö(R²-c²) [r²/2]cÖ(R²-z²) dz

= 4p * ò0Ö(R²-c²) (1/2)*({Ö(R²-z²)}²-c²) dz

= 2p * ò0Ö(R²-c²) ((R²-z²)-c²) dz

= 2p * ò0Ö(R²-c²) (R²-c²-z²) dz

= 2p * [((R²-c²)z-z³/3)]0Ö(R²-c²)

= 2p * [((R²-c²)*Ö(R²-c²) -(Ö(R²-c²))³/3) -0]

= 2p * ((R²-c²)3/2 -(R²-c²)3/2/3)

= 4p/3 * (R²-c²)3/2
===============

Habe ich richtig gerechnet oder kommt bei beiden Wegen nur zufällig dasselbe Ergebnis raus?
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Kröte0815
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Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 19:16:   Beitrag drucken

Stimmt das also?
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Jan von Hollen (Cherusker)
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Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 19:47:   Beitrag drucken

Oh Verzeihung, habe noch Prüfungen und zeitlich etwas eingeschränkt, werde mich aber noch damit auseinandersetzen. Nach einem groben Überriss, konnte ich jedoch keinen Fehler finden.
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Kröte0815
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Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 20:22:   Beitrag drucken

Ok. Lass dir Zeit.
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Jan von Hollen (Cherusker)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 16:59:   Beitrag drucken

Hallo

Hatte jetzt endlich mal die Zeit, mich nochmals mit der Thematik zu beschäftigen (Sorry, daß es so lange gedauert hat).

Nachdem ich die Rechnungen nochmal genau nachvollzogen habe, muß ich sagen, daß ich keinerlei Fehler gefunden habe, scheint vollkommen richtig zu sein.

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