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Oliver M. Senti (Senti)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 18:20: | 
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Hallo
Habe wiedermal ein kleines Problem mit einem Tetraeder.
Die Kugel mit Radius r=5 habe den Mittelpunkt bei M =(0,0,1). Die Ecken eines regulaeren Tetraeders leigen auf dieser Kugel. Eine Kante verlaueft paralell zur x-achse und liegt in der y-z-Ebene. Dabei haben alle Punkte auf dieser Kante haben positive y-koordinaten.
Bitte helft mir! Habe am Samstag eine Pruefung.
Vielen Dank
Oliver |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 16:50: |
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Hi Oliver,
Darf ich Dich bitten,die Formulierug Deiner Aufgabe zu
überprüfen und zu korrigieren.
Ein und dieselbe Kante kann nicht zur x-Achse parallel verlaufen
und gleichzeitig in der (y,z)-Ebene liegen.
MfG
H.R.Moser,megamath. |
Oliver M. Senti (Senti)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 17:53: |
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hallo
Ja, da hab ich wohl was falsches eingegeben.
Danke fuer den Hinweis.
Das muesste heissen: eine Kante verlaeuft parallel zur y-Achse usw..
Danke fuer Eure Hilfe.
Oliver |
4
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 21:01: |
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Hallo Oliver, irgendwie passt deine Beschreibung immer noch nicht:
Die Kugel mit Radius r=5 habe den Mittelpunkt bei M =(0,0,1). Die Ecken eines regulaeren Tetraeders leigen auf dieser Kugel. Eine Kante verlaueft paralell zur y-achse und liegt in der y-z-Ebene.
Bis hierhin trifft das Tetraeder mit den Eckpunkten A, B, C und D auf deine Umschreibung zu:
A(-5/3 | 5*Ö(2/3) | 5/3 * Ö2)
B(-5/3 | -5*Ö(2/3) | 5/3 * Ö2)
C(5 | 0 | 0)
D(-5/3 | 0 | -10/3 *Ö2)
und der Radius der Umkugel ist 5, leicht nachzuvollziehen durch Betragsbildung der Ortsvektoren zu den Eckpunkten.
aber dann passt der letzte Satz nicht:
"Dabei haben alle Punkte auf dieser Kante haben positive y-koordinaten."
Meinst du vielleicht "... positive z-koordinaten"?
Und irgendwie habe ich noch nicht verstanden, was jetzt überhaupt die Aufgabenstellung ist. |
4
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 21:10: |
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Sorry, habe nicht beachtet, dass der Mittelpunkt der Umkugel nicht in (0|0|0), sondern in (0|0|1) liegen soll.
Also heißen die Koordinaten der Eckpunkte:
A(-5/3 | 5*Ö(2/3) | 5/3 * Ö2 +1)
B(-5/3 | -5*Ö(2/3) | 5/3 * Ö2 +1)
C(5 | 0 | 1)
D(-5/3 | 0 | 1-10/3 *Ö2)
aber auch damit ändert sich nichts an der Tatsache, dass die Kante AB, welche parallel zur y-Achse liegt, zur Hälfte im Bereich negativer y-Koordinaten liegt. |
Oliver M. Senti (Senti)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 21:20: |
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hallo
also irgendwie bin ich recht verzweifelt und habe wohl einiges durcheinander gebracht. Ich versuche es daher nochmals. Bitte entschuldigt.
Die Kugel mit Radius r=5 habe den Mittelpunkt bei M=(0,0,0). Die Eckpunkte eines regulaeren Tetraeders liegen auf dieser Kugel. Eine Kante verlaeuft paralell zur x-Achse und liegt in der x-y-Ebene. Dabei habe alle Punkte auf dieser Kante positive y-Koordinaten.
Nun ist gefragt
a) Bestimme alle vier Ecken des Tetraeders.
b) berechne das Volumen
Nun, das Volumen koennte ich ja mit dem Spatprodukt berechnen. Aber wie kriege ich die Eckpunkte heraus. Irgendwie versteh ich die Herleitung von 4 auch noch nicht.
Ich habs mal versucht in dem ich die Kantenlaenge k und die Distanz der einzelnen Punkte d ausrechne. Aber irgendwie stosse ich da an Grenzen. Das einzige was ich habe ist k'^2=k^2 -(k/2)^2. Aber wie weiter? Ich seh das einfach irgendwie nicht.
Bin froh um jede Hilfe.
oliver |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 21:52: |
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Hi ,
Ich schliesse mich der Meinung von "4" an.und postuliere,
dass die z- Koordinaten der Endpunkte A und B der genannten
Kante positiv sind
Die Aufgabe wird sein, alle Koordinaten der vier Ecken A,B,C,D zu
bestimmen.
Zuerst stellen wir uns ein reguläres Tetraeder in einem vorgegebenen
Würfel anschaulich vor.
Der Würfel habe die Kantenlänge w.
In zwei gegenüberliegenden Seitenflächen des Würfels liegen
die nicht zueinander parallelen Flächendiagonalen
AB und CD ; sie haben je die Länge
a = w* wurzel(2).........................................................................(1)
Der Mittelpunkt M des Würfels ist gleichzeitig Mittelpunkt
der Umkugel des Tetraeders.
Derr Durchmesser 2* r der Umkugel stimmt mit der Länge der Körperdiagonalen des Würfels überein ,mithin :
2*r = w* wurzel(3)-------------------------------------------------....(2)
Dividiert man die Gleichungen (1) und (2) , so kommt:
a / (2*r) = wurzel(2) / wurzel(3) , also
a = 10 * wurzel(2) / wurzel(3) ~8,165
Nun arbeiten wir in der (y,z) -Ebene weiter
Wir schneiden den Grosskreis der gegebenen Kugel
(Mittelpunkt M(0/1) auf der z-Achse , Radius r =5)
mit der Parallelen zur y - Achse im Abstand u vom Mittelpunkt
Wir erhalten mit Pythagoras
u = wurzel [r^2 - (a/2)^2] = 5/3*wurzel(3) ~2,,89
Die Schnittpunkte sind die Ecken A und B
Die Raumkoordinaten dieser Punkte sind
A(0 / - ½ * a / 1 + u ) , B (0 / ½ * a / 1 + u )
Du findest die beiden anderen Ecken sofort, indem Du
beachtest, dass die Kanten AB und CD windschief normal
im Abstand w verlaufen.
Ergebnis;: C ( ½ *a / 0 / 1 - u )
D ( - ½ * a / 0 / 1 - u )
Es gilt nun nur noch, allfällige Divergenzen mit "4" aus der
Welt zu schaffen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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