| Autor |
Beitrag |
    
Julia
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 12:37: | 
|
Kurz und bündig: Ich brauche Hilfe!
In Krummliniegen Koordinaten habe ich schon immer Probleme gehabt:
Es seien die folgenden Abbildungen von R^3 in sich gegeben:
p(r,phi,teta):=(r*sin(teta)*cos(phi), r*sin(teta)*sin(phi), r*cos(teta))
bzw.
p(r,phi,z):=(r*cos(phi), r*sin(phi), z)
(Polar- bzw. Zylinderkoordinaten) Bestimmen sie dp sowie rang dp. Geben Sie jeweils maximale offene Intervalle I1,I2,I3 an, so daß
p:I1xI2xI3->R^3
injektiv ist mit offenem Bild und diffbarer Umkehrabbildung.
Beschreiben Sie für ihre Wahl von I1,...,I3 das Bild von p und die Menge R^3 \ p(I1xI2xI3).
Überprüfen Sie, ob bei einer Vergrößerung eines der Intervalle die Injektivität verloren geht.
Beschreiben sie (gegebenenfalls graphisch) die Koordinatenlinien der jeweiligen Koordinatensysteme, d.h. die Kurven
r->p(r,phi,teta), phi->p(r,phi,teta), usw. |
Dominikus Heinzeller (Rincewind)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 21:56: |
|
Hallo Julia,
für Kugelkoordinaten ein paar Tips:
dPhi (jaja, bei Tomi ist es gross Phi *g*) ist eine Matrix mit Spalte 1:
d/dr Phi_x (erste Komponente nach r ableiten)
d/dr Phi_y (zweite Komponente nach r ableiten)
d/dr Phi_z (dritte Komponente nach r ableiten)
Spalte 2 the same mit phi bzw. theta.
Dann betrachte doch mal die Spalten- oder
Zeilenvektoren. Deren Skalarprodukte sind
jeweils null, d.h. sie stehen orthogonal
aufeinander --> da V=R^3 ist dim(Bild(d Phi) =
Rang(Phi) = 3.
Intervallauswahl: Habe ich noch nicht so richtig
sauber, aber: Du kennst ja die Intervalle aus
der Physik - Ich habe die Überlegung mit phi (I2)
begonnen: In der ersten Komponente hast Du
cos(phi), in der zweiten sin(phi). cos(phi) ist
z.B. injektiv auf [0;pi[, sin(phi) ist es aber
auch auf [pi;2pi[ --> der Vektor (cos, sin, *)
mit *=const. ist injektiv für phi aus [0;2pi[.
(vgl. Polarkoordinaten im 2-dim.). Da I2 offen
sein soll also I2=]0;2pi[.
I3: Intervall ist immer zusammenhängendes Gebiet
auf R. Idee - Falls theta=0 oder theta=pi ist
sin(theta)=0. Damit kannst Du bei festem r für
phi einsetzen was Du willst, es kommt immer
derselbe Vektor raus --> Da sin 2pi-periodisch,
passiert dieses Spiel in allen Intervallen ebenso
--> I3= ]0;pi[
I1: Phi(r,phi,theta) ist lineare Funktion in r,
also theoretisch injektiv auf R. Anschaulich
ist es klar, daß r>=0 sein muß. Eigentlich genügt
es, wegen der Kreislinie in x-y-Ebene für
phi aus [0;2pi[ dies zu schlußfolgern. Da I1 offen
folgt I1 = ]0;infty[
Vielleicht (wahrscheinlich) es auch einfacher.
Beschreibung von Bild(phi) und R^3 ohne Bild(Phi):
Wegen der offenen Intervalle ist die Kugel
nicht ganz geschlossen und hat außerdem im Null-
punkt ein (abgeschlossenes Loch; Fachsprache eher
ein isolierter Punkt von R^3 ohne Bild(Phi) ;-) ).
Das bei Vergrößerung der Intervalle Injektivität
verloren geht, folgt schon aus obigen
Überlegungen, man kann auch einfach Beispiele
angeben?
Beschreibung der Koordinatenlinien:
s. Skript Mathematische Methoden II, S. 6/7.
Downzuloaden unter
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~dheinzel/mm2/ |
p 3
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 22:25: |
|
Das Differential ist die 3x3-Matrix, in deren ersten Zeile die erste Komponente von p nach r, phi, theta partiell abgeleitet ist usw.
Also für p2:
dp2 = | cos(phi) | -rsin(phi) | 0 | | sin(phi) | rcos(phi) | 0 | | 0 | 0 | 1 |
Beide Matrizen besitzen Vollrang, denn ihre Determinanten sind für r,phi ungleich 0 ebenfalls ungleich 0.
Die Intervalle für p: I1=(0,¥), I2=(0,2Pi), I3=(0,Pi), wobei () offene Intervalle sind.
Für p2: I1=(0,¥), I2=(0,2Pi), I3=IR.
Für I1 geht die Inj. bei Vergrößerung verloren, da r=0 enthalten ist, denn p(0,phi1,theta1)=p(0,phi2,theta2) für beliebige Winkel aus obigen Intervallen I2, I3.
I2 kann man halboffen machen: [0,2Pi) oder (0,2Pi].
I3 kann zu [0,Pi] abgeschlossen werden, aber nicht weiter.
Koordinatenlinien: in r-Richtung sind das radiale Halbgeraden vom Nullpunkt aus (ohne 0 natürlich).
In phi-Richtung sind es Breitenkreise auf einer Kugel mit Radius r, in theta-Richung Längenkreise. |
Dominikus Heinzeller (Rincewind)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 22:34: |
|
Nachtrag zu Kugelkoordinaten:
Es geht auch einfacher!
Und zwar mit dem Satz von der lokalen
Umkehrbarkeit: Phi|I1xI2xI3 umkehrbar,
falls dPhi auf I1xI2xI3 bijektiv, d.h.
det ungleich 0.
Nächstes mal suche ich gleich im Skript *g*
Damit mußt Du die Intervalle nicht einfach
angeben, sondern kannst z.B. direkt an dPhi
ablesen, daß für theta = 0 bzw. 2*pi eine
Nullspalte entsteht --> det=0 usw. Damit hätten
wir auch die Umkehrabbildung... |
Julia
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 14:17: |
|
Tausenddank!
Kommt etwas spät, kommt aber.
Danke nochmal! |
|
