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2. Semester (Polson)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 10:23: | 
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Könnt ihr mal bitte diese Limes berechnen.
Ich komme auf verschiedene Ergebnisse.
(1/3 und 0)
Lim (x - arctan[x])*sin[x]/x^4
x->0
Danke! |
Heiko (Naka2)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 11:28: |
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Hi,Mathematica sagt 1/3 .
Gruss,
Heiko |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 13:57: |
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Hi
Eine Lösungsmöglichkeit ist die folgende:
beim gegebenen Term spalten wir den Faktor
sin x / x ab, der bekanntlich gegen 1 strebt (für x gegen null).
Da der Grenzwert eines Produktes gleich dem Grenzwert
der Faktoren ist, brauchen wir uns nur um den Quotienten
Q(x) = ( x - arc tan x ) / x^3 zu kümmern
Um den Grenzwert von Q(x) zu ermitteln, wenden wir die
Regel von De L'Hospital - Bernoulli an.
Die Ableitung Z' des Zählers von Q(x) nach x ist
Z ' (x) = 1 - 1 / (1+x^2) ,die Ableitung N' des Nenners
N ' (x ) = 3 * x ^ 2.
Es entsteht die vereinfachte Form des Quotienten
Z' / N' = x^2 / [3*x^2 * (1 + x ^2 ) ] ,in welchem sich x^2
Weghebt ;der Grenzübergang ergibt:
Grenzwert 1/3 .für x gegen null.
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Wir haben dasselbe Ergebnis wie Mathematica,
dafür in Hand- und Kopfarbeit.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
2. Semester (Polson)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 15:14: |
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Danke schön, für die Antworten!
Ich hatte vorher auch so gemacht.
oder arctan[x] durch Taylorreihe ersetzt kommt
auch auf 1/3, aber wenn ich so mache komme ich
auf 0. Ich weiss nicht wo ich hier ein Fehler
gemacht habe:
lim (x-arctan[x])*sin[x]/x^4
x->0
1.) = lim x-arctan[x] * lim sin[x]/x^4
= (lim x - lim arctan[x])*lim sin[x]/x^4
lim sin[x]/x^4 nach L'hospital = 0
lim x = 0, lim arctan[x] = 0 also (0-0)*0 = 0
2.) = (lim x-arctan[x]/x) * lim sin[x]/x^3
= (lim x/x - lim arctan[x]/x) * lim sin[x]/x^3
lim sin[x]/x^3 = 1
lim x/x = 1
lim arctan[x]/x = 1 (L'hospital lim 1/1+x^2 = 0)
also (1-1)*1 = 0
???? |
sonny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 08:55: |
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Hallo Polson,
die Rechnung ist nur gültig, wenn alle Grenzwerte existieren. Beide grenzwerte existieren nicht:
lim sin[x]/x^4
lim sin[x]/x^3
DE L'Hospital wurde von dir falsch angewendet. Denn damit ist es schon ersichtlich.
Gruß
sonny |
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