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Beitrag |
    
Jens Itzig (Jens_Itzig)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 20:10: | 
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Hallo !
Gesucht ist die Lösung zu folgender Diff.-gleichung:
x+y+(x-y)*y'=0
Besten Dank im voraus !
Gruß,
Jens |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 07:34: |
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Hi Jens,
Wir schreiben in der Dgl. die Ableitung y'
als Quotient der Differentiale dx und dy
und formen um zu:
(x + y) * dx + (x - y) * dy = 0
Der Faktor beim Differential dx werde mit P(x,y)
bezeichnet, derjenige beim Differential dy mit Q(x,y).
Also :
P(x,y) = x + y
Q(x,y) = x - y
Die partielle Ableitung von P nach y ist
Py = 1
Da diese Ableitung mit der partiellen Ableitung
Qx von Q nach x übereinstimmt, ist die gegebene
Differentialgleichung wie man sagt "exakt" , d.h.
es gibt eine Funktion F(x,y) , für welche gilt:
die partielle Ableitung Fx von F nach x stimmt mit P überein,
die partielle Ableitung Fy von F nach y stimmt mit Q überein,
sodass die Lösung der gegebenen Dgl .in impliziter Form
durch die Gleichung
F( x , y ) = C gegeben ist.
Berechnung von F(x,y):
Wir integrieren P(x,y) nach x und setzen dies gleich F
Wir erhalten:
F = ½ * x^2 + y * x + h ( y ) ,wobei h nur von y abhängig ist.
Die partielle Ableitung von F nach y muss mit Q
Übereinstimmen ;somit muss gelten:
x + h ' (y) = x - y
Aus dieser Gleichung erhalten wir für die Ableitung h' (y):
h ' (y) = - y , also für h(y):
h(y) = - ½ * y ^ 2
Somit bekommen wir für F(x,y):
F(x,y) = ½ * x^2 + x*y - ½ * y^2
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F = C gibt die allgemeine Lösung.
Anmerkung:
In diesem einfachen Fall hätte man F auch
intuitiv durch Erraten bekommen können, indem man sich die
suggestive Frage stellt:
Welche Funktion in zwei Variablen gibt nach x abgeleitet x+y,
nach y abgeleitet aber x - y ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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