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Beitrag |
    
Mandy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 17:31: | 
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Für den Bestand eines Bienenvolkes gelte folgende Rekursion
x(n+1) = qx(n)+d mit x(0)=20000 d=7000
nach n=12 Wochen gilt x(12)=33970
Geben sie an, wie sich der Bestand x(n) in Abhängigkeit von d, q und x(0) berechnet.
Was soll ich hier eigentlich rechnen, soll ich die ersten Glieder berechnen oder q?Bitte helft mir! |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 18:28: |
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Hi Mandy,
x(n+1) = q * x(n) + d
x(0) = 20000
d = 7000
x(1) = q * x(0) + d
x(2) = q * x(1) + d = q * (q * x(0) + d)
x(3) = q * x(2) + d = q * (q * (q * x(0) + d))
...
x(12) = q * (q * (q * (q * (q * (q * (q * (q * (q * (q * (q * (q * x(0) + d)))))))))))
Das löst du nach q auf, fertisch (außer q ist in dem
Term ja alles bekannt).
Zumindest für eine rekursive Darstellung reichen die Angaben aus.
x(n+1) = q * x(n) + d
<=> x(n+1)/x(n) = q + d/x(n)
Für große n ergibt sich somit die Näherung der expliziten
Formel:
x(n) ~ q^n * x(0)
lg
P.S.: Bin damit noch nicht ganz zufrieden. Falls keiner
mehr was dazu schreibt, meld ich mich noch mal. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 20:08: |
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Hallo :
Ein einfacher Induktionsschluss zeigt, dass
(1) x(n) = x(0)*q^n + d*[q^(n-1)+q^(n-2)+...+1].
Die endliche geometrische Reihe rechts laesst
sich aufsummieren, und man hat
(2) x(n) = x(0)*q^n + d*(q^n-1)/(q-1) , falls q<>1
(3) x(n) = x(0) + d*n , falls q = 1.
Man kann wohl vermuten, dass 0 < q < 1 ist, sodass
sich der Populationsumfang auf die Dauer bei
lim(n->oo)x(n) = d/(1-q) stabilisiert.
Wir nehmen also (2) an und bestimmen q : Dazu
multiplizieren wir mit q-1 und ordnen nach
Potenzen von q (rechne nach !) :
(4) x(0)*q^(n+1)-(x(0)-d)*q^n-x(n)*q+x(n)-d = 0.
Diese algebraische Gleichung (n+1)-ten Grades
laesst sich natŸrlich i.A. nur numerisch loesen.
Mit n=12 und den gegebenen Werten lautet sie
(5)2000q^13-1300q^12-3397q+2697 = 0.
Maple berechnet q = 0.8000053700. Die Population
wird somit dem Grenzwert 35000 zustreben.
mfG
Hans |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 11:32: |
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Gibt es einen äquivalenten kontinuierlichen Zufallsprozeß / Lösung per DGL? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 16:51: |
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Schreibt man n=t und die Rekursion
x(t+1)-x(t) = (q-1)x(t) + d
so erkennt man die Analogie zur Differentialgleichung
x'(t) = (q-1)x(t) + d.
Die Loesung unter BerŸcksichtigung der Anfangsbedingung lautet
x(t) = {x(0)+d/(1-q)}*exp[-(1-q)t]+d/(1-q).
mfG
Hans |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 19:40: |
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Danke! Was könnten diese Koeffizienten "bienenmäßig" bedeuten; speziell d? |
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