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Beitrag |
    
André
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 15:24: | 
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Hallo! Kann mir jemand bei der Lösung der DGL's:
1. (ye^(xy)-2xy)dx + (xe^(xy)-x²+3y²)dy=0;y(1)=1
2. (y^(4)+3y²sinh(xy²))dx+(4xy³+4ycosh(xy²))dy=0; y(1)=0
3. (ycos(xy)+y²)dx+(2xy+xcos(xy)+3siny)dy=0; y(0)=0
4.((y²/x)-9x²y)dx+(2yln(xy²)+8y-3x³)dy=0; y(1)=1
helfen? Danke! André |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 20:05: |
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Hi André,
Lösung der ersten Aufgabe
Der Faktor beim Differential dx werde mit P(x,y)
bezeichnet, derjenige beim Differential dy mit Q(x,y).
Also :
P(x,y) = y * e ^ (x * y) - 2 x * y
Q(x,y) = x * e ^ (x * y ) - x ^2 + 3 * y
Die partielle Ableitung von P nach y ist
Py = e ^ (x * y ) + x * y * e ^ ( x * y ) - 2 * x
Da diese Ableitung mit der partiellen Ableitung
Qx von Q nach x übereinstimmt, ist die gegebene
Differentialgleichung - wie man sagt - exakt oder total, d.h.
es gibt eine Funktion F(x,y) , für welche gilt:
die partielle Ableitung Fx von F nach x stimmt mit P überein,
die partielle Ableitung Fy von F nach y stimmt mit Q überein,
sodass die Lösung der gegebenen Dgl .in impliziter Form
durch die Gleichung
F( x , y ) = C (constans) vorliegt.
Jetzt geht es darum, F (x,y ) zu ermitteln
Das kann so geschehen
Wir integrieren P(x,y) nach x und setzen dies gleich F
Wir erhalten:
F = e ^ ( x * y ) - y * x ^ 2 + h ( y )
Die Funktion h(y) von y allein dient als Integrationskonstante
( Achtung : wir haben nach x integriert , y spielte dabei
die Rolle einer Konstanten ).
Die partielle Ableitung von F nach y muss mit Q übereinstimmen.
Somit muss gelten:
x * e ^( x * y ) - x ^2 + h ' ( y ) = x * e ^( x * y ) - x ^ 2 + 3 * y
Es bleibt nur die Dgl. übrig:
h ' (y) = 3 y
Daraus
h (y) = 3/2* y ^ 2
Somit erhalten wir für F:
F( x, y) =e ^ ( x * y ) - y * x ^2 + 3 /2 * y^2
F = C gibt die allgemeine Lösung
Setzt man die Anfangsbedingung ein, so erhält man für C
den numerischen Wert
C = e + 2
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 20:56: |
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Hi André,
Lösung der dritten Aufgabe
Der Faktor beim Differential dx werde wieder mit P(x,y)
bezeichnet, derjenige beim Differential dy mit Q(x,y).
Also :
P(x,y) = y* cos ( x * y ) + y^2
Q(x,y) = 2* x * y + x * cos( x * y) + 3 * sin y
Die partielle Ableitung von P nach y ist
Py = cos ( x * y ) - x * y * sin ( x * y ) + 2 * y
Da diese Ableitung mit der partiellen Ableitung
Qx von Q nach x übereinstimmt, ist die gegebene
Differentialgleichung wiederum exakt , d.h.
es gibt eine Funktion F(x,y) , für welche gilt:
die partielle Ableitung Fx von F nach x stimmt mit P überein,
die partielle Ableitung Fy von F nach y stimmt mit Q überein,
sodass die Lösung der gegebenen Dgl .in impliziter Form
durch die Gleichung
F( x , y ) = C gegeben ist.
Berechnung von F(x,y):
Wir integrieren P(x,y) nach x und setzen dies gleich F
Wir erhalten:
F = sin ( x * y ) + x * y ^2 + h ( y )
Die partielle Ableitung von F nach y muss mit Q übereinstimmen.
Somit muss gelten:
x * cos (x*y) + 2* x*y +h' ( y ) = 2* x * y + x * cos( x*y )+3 *sin y
Es bleibt bloss:
h ' (y) = 3 * sin y
Daraus
H(y= = - 3 * cos y.
Somit erhalten wir für F:
F( x, y) = sin(x * y ) + x *y ^ 2 - 3 * cos y
F = C gibt die allgemeine Lösung
Setzt man die Anfangsbedingung ein, so erhält man für C
den numerischen Wert
C = - 3.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 22:13: |
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Hi André,
Lösung der vierten Aufgabe
Als Vorbereitung berechnen wir mittels partieller
Integration das Integral J = int [y * ln y * dy ]
Wir erhalten:
J = ½* y^2*ln y - int[y^2*1/y*dy] = ½ * y^2 * ln y-¼*y^2,
also J = ¼ * y ^2 * ( 2 * ln y - 1 ) ............................................(1)
Der Faktor beim Differential dx werde wieder mit P(x,y)
bezeichnet, derjenige beim Differential dy mit Q(x,y).
Also :
P(x,y) = y^2 / x - 9 * x ^2 * y
Q(x,y) = 2*y * ln ( x * y ^2 ) + 8 *y - 3 * x ^3
Die partielle Ableitung von P nach y ist
Py = 2*y / x - 9 * x ^2
Da diese Ableitung mit der partiellen Ableitung
Qx von Q nach x übereinstimmt, ist die gegebene
Differentialgleichung wiederum exakt , d.h.
es gibt eine Funktion F(x,y) , für welche gilt:
die partielle Ableitung Fx von F nach x stimmt mit P überein,
die partielle Ableitung Fy von F nach y stimmt mit Q überein,
sodass die Lösung der gegebenen Dgl .in impliziter Form
durch die Gleichung
F( x , y ) = C gegeben ist.
Berechnung von F(x,y):
Wir integrieren P(x,y) nach x und setzen dies gleich F
Wir erhalten:
F = y ^2 * ln x - 3 * x ^3 * y + h ( y )
Die partielle Ableitung von F nach y muss mit Q übereinstimmen.
Somit muss gelten:
2*y * ln x - 3 * x ^3 + h' (y) = 2 * y * ln( x * y ^2) + 8*y - 3*x^3
Aus dieser Gleichung erhalten wir für die Ableitung h'(y):
h ' (y) = 4 * y * ln y + 8 * y
Beim Integrieren machen wir vom Resultat (1) aus der Vorbereitung
Gebrauch.
Wir erhalten:
h(y) = .3* y^2 + 2 * y ^2 * ln y.
Somit bekommen wir für F:
F( x, y) = y^2 * ln x - 3 * x ^3 * y + 3 * y ^2 + 2* y^2* ln y =
Oder:
F = y ^ 2 * ln ( x * y ^2 ) - 3 x ^3 * y + 3 * y ^ 2
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F = C gibt die allgemeine Lösung
Setzt man die Anfangsbedingung ein, so erhält man für C
den numerischen Wert
C = 0
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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