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Beitrag |
    
Jens Itzig (Jens_Itzig)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 13:40: | 
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Nochmal Hallo an alle die freundlichen Helfer!
Gesucht ist folgendes Integral:
(e^x)/[(e^x)+(e^(-x))]
Danke im voraus !! |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 14:47: |
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z := e^x => dz/dx = e^x <=> dz/z = dx
=> ò e^x/(e^x+e^(-x)) = ò z/(z+1/z) * dz/z
= ò 1/(z+1/z) * dz
= ò z/(z²+1) * dz
= ò z * 1/(1+z²) * dz
= ò z * ò 1/(1+z²) * dz - ò 1/(1+z²) * dz
= z * arcsinh(z) - ò arcsinh(z)
= z * arcsinh(z) - ò 1 * arcsinh(z) * dz
= z * arcsinh(z) - (z * arcsinh(z) - ò z/(1+z²) * dz)
Wie drehen uns hier also im Kreis, da jetzt wieder
ein bereits bekannter Ausdruck hier steht.
Das Integral lässt sich m.H. eines "Trickes" sowieso viel
schneller lösen.
Betrachten wir wieder den letzten Ausdruck.
ò z/(z²+1) * dz = 1/2 * ò 2z/(z²+1) * dz
= 1/2 * ò (z²+1)'/(z²+1) * dz
= 1/2 * ln(|z²+1|)
= 1/2 * ln(|e2x+1|) + c
Anm.: ò (1+x²)^(-1) * dx = arcsinh(x) wurde der Formelsammlung entnommen.
Bitte überprüfen
lg
P.S.: Die anfängliche Version, die mich nicht zum Ziel führte,
habe ich bewusst nicht gelöscht. |
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