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Beitrag |
    
dcarlito (Dcarlito)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 20:04: | 
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Hi!
Ich habe hier einmal 2 Aufgaben aus meinen Übungsaufgaben. Vielleicht ist es für manche wirklich simpel, aber ich hab echt zu tun, überhaupt die Frage so zu verstehen, dass ich weiss, was die von mir evtl. wollen - von der Lösung rede ich gar nicht erst. Ich hoffe jemand kann mir helfen:
1. Man bestimme die Anzahl Abbildungen von {1,..,5} in sich, bei denen jedes Bildelement höchstens 2 Urbilder hat!
2. Man bestimme die Anzahl aller Paare (A,B) aus Teilmengen von {1,..,n), für die zusätzlich gilt:
a) A (ist Teilmenge von) B (d.h. Mächtigkeit von A <= Mächtigkeit von B) (sorry, kenne die Komb. für Sonderzeichen hier noch nicht)
b) A (ist "echte" Teilmenge von) B (d.h. insbesondere auch A ungleich B).
Danke nochmals! |
holger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 14:42: |
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Hallo,
zu 1:
Zu der gesuchten Menge von Abbildungen gehört auf jedenfall die Symmetrische Gruppe 5 (S5) (Menge aller Bijektionen) Hier wird jedem Element genau eines umkehrbareindeutig zugeordnet, also ist die Bedingung erfüllt. Die Mächtigkeit von S5 ist (5!).
Nehmen wir aus {1..5} ein Element heraus, so erhalten wir etwa {1..4}. Die Abbildungen von {1..5} auf {1..4} sind Abbbildungen von {1..5} in {1..5} da {1..4} Teilmenge von {1..5} ist. Ein Elment von {1..4} hat dabei zwei Elemente von {1..5} als Urbild. Also erfüllen alle Abbildungen von {1..5} auf {1..4} die Bedingung. Die Mächtikeit der Menge dieser Abbildungen ist 4! * 5
= 5!. 4! ist die Mächtigkeit von S4, und mal 5 wegen "der Beweglichen Position" des Elements mit zwei Urbildern.
Nun zählen wir noch von den Abbildungen von {1..4} auf {1..3} diejenigen hinzu, die die Bedingung erfüllen, das sind (4-1)*3! Also 3*3!. 4-1 weil immer eine Abbildung wegfällt, die einem Element, dass schon bei der Abbildung von {1..5} auf {1..4} nicht nur ein Bild zuordnet.
Wir kommen also insgesamt auf 5! + 5! + 3*3! Abbildungen.
-holger |
dcarlito (Dcarlito)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 11:59: |
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Danke Holger!
Du hast uns jetzt schon einen Schritt weiter in Richtung unserer anstehenden Klausur gebracht! |
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