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Timo
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 13:45: | 
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Hallo,
ich soll die Maxima und Minima der Funktion:
f(x,y):=4x²-3xy
auf der Kreisscheibe
K:={(x,y)Element von IR², x²+y²£1}
berechnen und weiß nicht wie.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Timo |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 14:29: |
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Hallo :
Aus SymmetriegrŸnden liegt es nahe, Polarkoordinaten r,w einzufŸhren :
x = r cos(w) , y = r sin(w); r >=0,0 =< w < 2 Pi.
Dann wird
f(x,y) = r^2*h(w) mit
h(w) := 4 cos^2(w) - 3 cos(w) sin(w).
Ohne Differentialrechnung kommt man aus, wenn man
h(w) etwas umformt :
cos^2(w) = (1/2)[1+cos(2w)] ,
sin(2w) = 2 cos(w) sin(2w) ==>
h(w) = 2 + 2 cos(2w) - (3/2) sin(2w)
= 2 + (5/2) sin[2w - arctan(3/4)]
(Additionstheorem !).
mfG
Hans |
Timo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 10:13: |
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Hallo Hans,
vielleicht bin ich zu blöd, aber Ich verstehe das nicht. Jetzt hat man wohl die Funktion in Polarer Form. Aber wieso kann man deshalb auf´s differenzieren verzichten? Wie kommt man denn dann explizit an die Extrema auf der Kreisscheibe?
Gruß, Timo. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 14:14: |
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Das Maximum von h(w) wird angenommen, wenn
sin[2w - arctan(3/4)] = 1 , also
2w-arctan(3/4) = Pi/2 (mod 2Pi), der entspr.
Wert ist 2+(5/2)= 9/2. FŸr festes r ist demnach
maxf(x,y) = (9/2)r^2, und dies wiederum wird maximal fŸr r=1, also (wie nicht anders zu erwarten) auf dem Rand der Einheitskreisscheibe.
Entsprechend ist h(w) minimal wenn sin[...] = -1,
also 2w-arctan(3/4)= - Pi/2 (mod 2Pi), der Minimalwert ist 2-5/2=-1/2, und das Minimum -1/2
von f wird ebenfalls auf dem Rand r=1 angenommen.
Die Extrema von h(w) kann man natŸrlich auch
wie Ÿblich durch Differenzieren ermitteln. Ich
finde es aber schoener, wenn man ohne schweres
GeschŸtz zum Ziel kommt, wenngleich das oft
sogar mŸhsamer sein kann. Nenne das von mir aus
eine Marotte.
mfG
Hans |
Timo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 21:00: |
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Danke, jetzt ist´s klarer!
Timo |
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