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Beitrag |
    
Jens Itzig (Jens_Itzig)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 13:37: | 
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Hi!
Gesucht ist die Stammfunktion von folgendem Integral (unbestimmt):
(x²+4x-9)/(x³+6x²+9x)
Was mir dabei am wichtigsten ist, sind die Rechenschritte für die Partialbruchzerlegung.
Besten Dank im voraus !
Jens |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 07:01: |
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Hi Jens,
Aus der Faktorzerlegung des Nenners N(x) = x * (x + 3) ^ 2
erkennen wir seine Nullstellen
x = 0 (einfach) und x = -3 (doppelt) .
Für die Partialbruchzerlegung wählen wir daher den Ansatz:
f(x) =Z(x) / N(x) =A / x + ( B x + C ) / (x + 3) ^ 2
f(x) ist der Integrand ; Z(x) die Zählerfunktion ;
A,B,C sind die zu bestimmenden Konstanten.
Addiert man die Brüche rechts, so lautet der neue Zähler
Zo = (A+B)*x^2 + (6*A+C) * x + 9*A.
Der Koeffizientenvergleich gibt das Gleichungssystem
A + B = 1
6 A + C = 4
9 A = 9, daraus :
A = 1 , B = 0 , C = - 2
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f(x) = 1 / x - 2 / ( x +3 ) ^ 2 , integriert:
F(x) = ln x + 2 / ( x +3 ) + K
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 07:12: |
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hi,
fuer die partialbruchzerlegung musst du die nullstellen des nennerpolynoms finden.
entweder ueber p-q-formel (nachdem du ein x ausgeklammert hast) oder du erkennst eine binomische formel.
die nullstellen sind hier x=0 und x=-3 (doppelt)
x^3+6x^2+9x=x(x+3)^2
der ansatz ist fuer die partialbruchzerlegung dann folgender:
(x^2+4x-9)/(x^3+6x^2+9x)
=
A/x+(Bx+C)/(x+3)^2
multiplizierst du die gleichung mit (x^3+6x^2+9x)
erhaelst du
x^2+4x-9=A(x+3)^2+(Bx+C)x
jetzt setzt du fuer x drei werte ein:
x=0 -> A=-1
x=1 -> -4=16A+B+C
x=-1 -> -12=4A+B-C
-> A=-1,B=2,C=10
es folgt:
(x²+4x-9)/(x³+6x²+9x)
=
-1/x+(2x+10)/(x+3)^2
cu |
Fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 07:16: |
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Hi moser,
dein fehler liegt bei 9A=9, muss 9A=-9 heissen!
P.S.:
hoch lebe die probe, da kann mann auch mal 11 min verschmerzen :-) |
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