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Chris (Rothaut)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 16:58: | 
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Hallo !
Ich vertu mich wohl immer bei einer Aufgabe, also...
Sei f(x,y)=(y-(x^2))*(y-3*(x^2))
Zeigen Sie, dass für jeden Vektor v elem. R^2{0} die Funktion g(t)->f(tv) ein striktes lokales Minimum in t=0 besitzt.
Also nach Kettenregel krieg ich wenn ich h(t)=f(g(t)) nenne:
h´(t)=<grad f(g(t)), g´(t)> mit grad f(x,y)=(12*(x^3)-8xy, 2y-4*(x^2)) und g´(t)=v=(x,y)
==> h´(t)=(12*((tx)^4)-8((tx)^2)ty, 2ty-4*((tx)^2))*(x,y) puuuhhhh!
Ist das bis hier noch richtig ? Wenn nicht, was ist falsch und wenn ja, wie gehts weiter ?? (Ich denke h´´(t)>0 ist zu zeigen.....)
Vielen Dank,
Christian |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 18:45: |
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Hallo:
Es sei v = (a,b) ein beliebiger Vektor.
Dann ist also (rechne nach !)
g(t) = f(at,bt) = 3a^4*t^4-4a^2*b*t^3+b^2*t^2 ==>
g'(t)=2t{6a^4*t^2-6a^2*b*t+2b^2}.
Die Diskriminante des {...}-Ausdruckes ist
= -12a^*4b^2 < 0 , also {...} > 0 fŸr alle t,
folglich g'(t) < 0 fŸr t < 0 und g'(t) > 0 fŸr
t > 0. Das beweist die Aussage.
mfG
Hans |
Chris (Rothaut)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 12:06: |
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Ok, so gehts auch :-)
Also Danke nochmal
Christian |
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