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MadMatrix (Madmatrix)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 18:58: | 
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Also,
der Vektorraum C0[-1,1] der auf [-1,1] stetigen Funktionen sei versehen mit der Abbildung
<.,.>:C0[-1,1]xC0[-1,1] -> R,
(f,g) -> <f,g> := INTEGRAL(von -1 bis 1) f(x)g(x)dx
Zeigen Sie: Diese Abbildung ist ein Skalarprodukt.
Meine Frage: Wieso ist sie positiv definit?
Danke für eure Hilfe, MadMatrix |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 00:22: |
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Hallo MadMatrix
Deiner Frage liegt mir nahe, dass Dir die Linearität klar, die folgt ja auch sofort aus der Linearität des Integrals. Die positive Definitheit beweisen wir in zwei Schritten:
1) (f,f)>=0 (positive Semidefinitheit)
2) (f,f)=0 <=> f=0
1 und 2 zusammen ergeben positive Definitheit.
1) sollte klar sein, da das Integral monoton ist (f,f)=ò-1 1f²(x)dx>=0, da f²(x)>=0 ist
Das Problem liegt eher in 2), da braucht man die Stetigkeit, sonst stimmt es auch nicht.
Sei also ò-1 1f²(x)dx=0. Angenommen, f¹0, dann gibt es also x aus [-1,1] mit f(x)¹0. Dann ist f²(x)=c>0 für ein positives reelles c. Und da f stetig ist, ist f² auch stetig, also existiert ein d>0, sodass f²>=c/2 in einer d-Umgebung von x ist. Also ist, weil f²>=0, f²>=g, wobei g die Funktion ist, die in der d-Umgebung um x c/2 und sonst überall 0 ist. Da wir den Spezialfall mitbeachten müssen, dass x am Rand des Intervalls liegt, können wir sagen, dass das Intervall, in dem g>0 ist, mindestens d breit, und c/2 hoch, das Integral ist daher mindestens c/2*d. Wegen der Monotonie des Integrals folgt ò-1 1f²(x)dx>=ò-1 1g(x)dx>=c/2*d>0 im Widerspruch dazu, dass das Integral 0 ist.
Ich habe ein Bild beigefügt, ich hoffe, es ist verständlich so. Wenn nicht, frag gern nochmal nach.
viele Grüße
SpockGeiger |
MadMatrix (Madmatrix)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 15:45: |
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Danke Spockgeiger, diese Sache hatte mir schon den Schlaf geraubt.
Macht's gut, aber nicht so oft,
MadMatrix |
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