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Beitrag |
    
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 10:20: | 
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Hallo Mathefreunde,
hier mal wieder eine Aufgabe die mein Potential übersteigt. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
1. f:I-->IR² sei eine zweimal stetig differenzierbare Kurve. Für t El.I wird definiert:
k(t):= lim(h->0) j(h)/(||f(t+h)-f(t)||) [Krümmung von f in f(t)]!
j(h) bezeichnet den Winkel zwischen den Tangentenvektoren f´(t) und f´(t+h).
a) Zeigen Sie, dass gilt:
k(t):= [(f´1f´´2-f´2f´´1)/||f´||³](t)
Zur Erinnerung:
||x|| ||y||cosa=<x,y>
||x||² ||y||²-<x,y>=(x1y2-y2x1)
2. Zur einer Kurve f wie in 1. definiert gehört zum Punkt f(t) ein Krümmungskreis, d.h ein Kreis mit dem Radius p(t)=1/k(t) und dem Mittelpunkt p(t), der auf der Senkrechten zu f´(t) durch den Punkt f(t) von diesem den Abstand p(t) hat.
b) Bestimmen Sie die Kurve p(t) der Krümmungsmittelpunkte für die Parabel:
f:I-->IR² f(t)=(t²,t)
Bin für jede Hilfe dankbar, Treborius. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 14:27: |
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Hi Robert,
Bei Deiner zweiten Teilaufgabe geht es darum,
die Evolute, d.h. die Ortskurve der Krümmungszentren,
der Parabel zu ermitteln
Für die Parabel y ^ 2 = 2 p x ergibt sich als Evolute
die sogenannte Neilsche Parabel mit der Gleichung
Y ^ 2 = 8 / (27 p ) * (X - p ) ^3 , dabei sind mit
X und Y die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes
Bezeichnet.
Diese Kurve schneidet die gegebene Parabel im Punkt
S( 4*p / 2 * p* wurzel(2)) und hat im Punkt R(p/0) eine
Spitze.
In dem von Dir vorgelegten Beispiel ist p = 1 .
Wir werden das entsprechende Ergebnis mittels der
angegebenen Parameterdarstellung herleiten.
Wir benötigen dazu die ersten und zweiten Ableitungen
der Funktionen x = x(t) , y = y(t) , die folgendermassen
bezeichnet werden sollen :
erste Ableitungen x° (t),y° (t) , zweite Ableitungen x°°(t),y°°(t).
also: x°(t) = 2 t , y°(t) = 1 ,x°°(t) = 2 , y°°(t) =0.
Wir benötigen weiter:
U = x° * y°° - x°° * y° = - 2 ;
v = (x° ) ^ 2 + (y° ) ^ 2 = 4 * t ^2 + 1 .
Die Koordinaten X, Y des Krümmungszentrums M für den
Punkt P(x/y) auf der Kurve sind:
X = x - y° * v / u = t^2 + 2 t ^2 + ½ = 3 * t ^ 2 + ½
Y = y + x° * v / u = t - 4 * t ^3 - t = - 4 * t ^ 3
Damit haben wir bereits eine Parameterdarstellung
der gesuchten Ortskurve gewonnen.
Eliminiert man den Parameter t , so erhält man die
Koordinatengleichung der Ortskurve,
nämlich:
Y ^ 2 = 16 / 27 * ( X - ½ ) ^ 3
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 09:47: |
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Vielen Dank, H.R.Moser, für deine Ausführliche Lösung.
P.S.
Falls sich noch jemand mit der ersten (knackigen) Teilaufgabe beschäftigt, hier ist mir ein Fehler unterlaufen. Unter "Zur Erinnerung" muß es wohl heißen: ||x||²||y||²-<x,y>²=(x1y2-y1x2)²
Dank und Gruß, Treborius. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 15:10: |
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Hi Robert,
In der Aufgabenstellung zur Teilaufgabe a ) hat sich ein
Fehler eingeschlichen.
Er befindet sich in der Definitionsgleichung der
Krümmung k in der dritten Zeile nach der Anrede.
Im Nenner für k(t) muss die Bogenlänge zwischen den
Punkten P1 (x1/..) und P2 (x1+h /..)stehen.
Die Krümmung ist definiert als Grenzwert für h gegen null
des Quotienten der Aenderung delta (alpha) des
Richtungswinkels alpha der Tangente bezüglich der
Punkte P1, P2 und der zugehörigen Bogenlänge
von P1 bis P2.
Wenn man zur Berechnung erste Differentiale einsetzt,
so erhält man den gesuchten Ausdruck für die
Krümmung in wenigen Zeilen
Durchführung
Wir schreiben nach dem soeben gesagten:
k = d(alpha ) / ds (Ableitung des Richtungswinkels alpha
nach der Bogenlänge s) .
Somit k = d(alpha)/ds = d(alpha)/dx * dx /ds =
d( arc tan y ' ) / dx * 1 / [ ds/dx ]
= y '' / [1 + ( y ' ) ^2 ] * 1 / wurzel [1 + ( y ' ) ^ 2 ],
also:
k = y ' ' / [ 1 + ( y ' ) ^2 ] ^ ( 3 / 2 )
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Daraus folgt für Kurven in Parameterdarstellung:
k = [x° * y°° - x°° * y°] / [ x ° ^ 2 + y° ^ 2] ^ (3/2)
Im Sinne einer ausgleichenden Gerechtigkeit folgt eine Korrektur
meinerseits:
In meiner Arbeit zu Teilaufgabe b) muss es richtig heissen:
Parameter p = ½ , nicht p = 1 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 19:47: |
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Hi Robert,
Mit dem folgenden Beitrag möchte ich den Ausdruck
für die Krümmung mittels Grenzübergang im Sinn der
Aufgabenstellung unter a) durchführen.
Dabei weiche ich in zwei Punkten vom vorgeschriebenen
Weg ab.
1)
Ausgangspunkt ist die Kurvengleichung in expliziter Form
y = f(x), der Uebergang zu einer Parameterdarstellung
erfolgt anschliessend.
2)
Statt der Kosinusfunktion (via Skalarprodukt ) verwende ich
die Tangensfunktion, die sich ja beim Ableiten von
selbst einstellt und dem Problem etwas besser angepasst ist.
Zusätzliche Bemerkungen
I.
Es ist nützlich, sich das Subtraktionstheorem des Tangens
in Erinnerung zu rufen.; es lautet für die Winkel s und t:
tan ( s - t ) = [ tan s - tan t ] / [ 1 + tan s * tan t ]
II
Der Richtungswinkel alpha der Tangente wird durchwegs
mit a bezeichnet.
Statt der Aenderung delta von a des Richtungswinkels
beim Uebergang von P1( x /y ) zum Nachbarpunkt
P2 ( x + h / y + j ) steht einfach "Da"
III
Alle limites sind im Sinne von delta a = Da "strebt gegen null"
gemeint.
IV
Es gilt : lim { tan (Da) / Da } = 1 , ferner gilt für P2 strebt
gegen P1:
lim {Bogenlänge P1 P2 / wurzel (h^2 + j^2)} = 1
Es kann losgehen: für die Krümmung k in P1 kommt
k = lim { Da / Bogenlänge P1P2 } =
lim { tan (Da) / wurzel (h^2+j^2)} =
lim { tan (Da) / h * 1 / [wurzel (1 + ( j / h ) ^ 2 ) ] } =
lim{[tan (a+Da)- tan (a)] / [h* (1+tan (a +Da)* tan (a)] * 1 / [wurzel (1+(j/h)^2]} = 1 / wurzel(1+ (y') ^2) * lim {[f ' ( x + h ) - f '(x)] / h *
1/ [1 + f ' (x+h) *f ' (x) ] } =
1 / wurzel(1+(y ' ) ^2 ) * f '' (x) * 1 / [(1 + (y ') ^ 2 ] , mithin:
k = y '' / [1 + (y' ) ^ 2 ] ^ (3 / 2 ) = y ' ' * (cos a ) ^ 3 .
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Das sollte genug sein !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 22:52: |
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WOW!
Hallo H.R.Moser,megamath(oder besser gigamathJ),
das sollte bestimmt genug sein (auf jedem Fall ist es mehr als ich mir erhofft hatte).
Ich danke dir vielmals für diese Ausarbeitungen.
Leider kann bisher noch nicht alles nachvollziehen, ich werde mich jedoch noch die "Nachmitternacht" damit beschäftigen.
Viele Grüße, Robert. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 09:49: |
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Hi Robert,
Vielen Dank für die freundlichen Worte !
Mehr zu diesem interessanten Thema findest
Du übrigens im Archiv unter dem Stichwort "Evolute".
Gruss
H.R.Moser, immer noch "megamath" |
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