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Morphismen, Verträglichkeit

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Maria
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Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 12:34:   Beitrag drucken

Probleme bei folgenden Aufgaben
1. Gegeben sie (N,*); eine Äquivalenzrelation ~ sei definiert durch
a ~ b <==>
2^n|a und 2^n|b und 2^(n+1)!a und 2^(n+1)!b
[mit n € N`]
Ist "~" mit "*" verträglich in N?
Wenn ja, wie sehen die Äquivalenzklassen der Faktorstruktur aus?
Hinweise: * ist die normale Multiplikation, | heißt Teiler von, ! heißt kein Teiler von, € heißt Element von
2. Wie bestimme ich bei einem Automorphismus das Bild f?
Bsp: (R{0},*)-->(R{0},*) mit der Fkt. 1/x.
Die Bijektivität und die operationentreue gilt, aber wie bestimme ich das Bild f?
3. f: G --> H sei ein Isomorphismus zwischen den Gruppen (G,*) und (H,°) Beweisen Sie:
Jedes a € G lässt sich genau dann in (G,*) als Quadrat schreiben(d.h. es gibt ein b € G mit a = b*b), wenn sich f(a) in (H,°) als Quadrat schreiben lässt.
4. Beweisen oder widerlegen sie, dass folgende Gruppen isomorph sind:
a) Die Menge der Deckdrehungen eines regelmäßigen n-Ecks mit der Verkettung und eine zyklische Gruppe mit n Elementen.
b) (Z,+) und (R,+)
c) (Z,+) und (Q,+)
d) (R,+) und (R{0},*)

Danke im Voraus
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 12:12:   Beitrag drucken

Hi Maria,

hier einige Tipps.

1. Die Relation ist verträglich mit *.

Dazu ist zu zeigen:

Wenn a ~ b und c ~ d, dann ist a*b ~ c*d.

Die Äquivalenzklassen lauten

20/~ = {1,3,5,7,...}
21/~ = {2,6,10,14,...}
22/~ = {4,12,20,28,...}
...
2k/~ = {1*2k,3*2k,5*2k,7*2k,...}

2. Das Bild ist wieder R \ {0}. (f = 1/x ist ja in deinem Beispiel bijektiv.)

3. Das kannst du selbst!

4.
a) isomorph
b) nicht isomorph (R hat mehr Elemente als Z, oder siehe c)
c) nicht isomorph (in R kann man dividieren)
d) nicht isomorph. Siehe Aufg. 3.
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Maria
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Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 17:24:   Beitrag drucken

Zu 1
sicher a*b ~ c*d und nicht a*c ~ b*d ???
So haben wir das nämlich an der Uni gemacht.
Und was bekomme ich dann für einen Ausdruck?
Zu 2
bedeutet das, ich muss im Grunde genommen die Wertemenge angeben?
Zu 3
Wieso kann ich das selbst?
Zu 4
Wie beweise oder widerlege ich das denn?
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 22:48:   Beitrag drucken

1. Du hast Recht! Es ist a*c ~ b*d zu zeigen. Was meinst du mit "was bekomme ich dann für einen Ausdruck"?

2. Würde ich mal so sagen. Unter dem Bild einer Funktion versteht man i. A. die Wertemenge.

3. Weil es wirklich sehr, sehr einfach ist! Beachte f(b * b) = f(b) ° f(b).

4. Wo hast du noch Schwierigkeiten. Bei b, c und d steht die Begründung jeweils in Klammern. Bei a gebe ich zu, dass das wohl intuitiv klar, aber etwas eklig aufzuschreiben ist.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 22:53:   Beitrag drucken

Bei 4c sollte die Begründung lauten "in (Q,+) kann man dividieren". Soll heißen: Zu jedem x aus Q und zu jedem n aus N gint es ein y aus Q mit x = y + y + ... + y (n mal).

Bei 4b und 4c reicht aber Aufgabe 3 auch schon aus, um die nicht-Isomorphie zu zeigen.
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Maria
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Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 15:48:   Beitrag drucken

zu 1)
wie sieht das aus?
Wenn n der Exponent für a und b ist und m der Exponent für c und d:
2^n*2^m|a*c und 2^n*2^m|b*d und 2^(n+1)*2^(m+1)!a*c und 2^(n+1)*2^(m+1)!b*d?
zu 4)
ich verstehe es leider immer noch nicht!!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 18:04:   Beitrag drucken

1. Wenn n der Exponent für a und b und m der Exponent für c und d ist, dann ist m+n der Exponent für das Produkt, denn 2^(m+n) | a*c, 2^(m+n)| b*d, aber 2^(m+n+1) ! a*c und 2^(m+n+1) ! b*d.

4b. In R gibt es zu jedem a ein b (nämlich b = a/2) mit b+b = a. Aber in Z gilt das nicht. Nach Aufg. 3 sind die beiden Gruppen also nicht isomorph.

c und d gehen genauso. Jetzt klar??
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Maria
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 21:31:   Beitrag drucken

zu 1) müßte es nicht heißen
.... und 2^(m+1)*2^(n+1)!a*c...
=...2^(m+n+2)!a*c....
und nicht 2^(m+n+1)!a*c???
zu 2) ist leider ein weiteres Problem aufgetreten
die Funktion x^n ist für n gerade weder injektiv noch surjektiv wenn da steht (R,+) --> (R,+) oder (R,*)--> (R,*) oder??
zu 4) b und c habe ich jetzt verstanden, danke dafür
Aber bei d steht doch (R,+) und (R{0},*)? Wie kann ich da Aufgabe 3 miteinfließen lassen?

Vielen Dank aber schonmal trotzdem, warst mir(und meiner Übungsgruppe) echt eine Hilfe.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 21:59:   Beitrag drucken

1. Das stimmt natürlich auch - reicht hier aber nicht! Du musst ein k finden mit

2^k | a*c und 2^k | b*d
und
2^(k+1) ! a*c und 2^(k+1) ! b*d.

Für k = n+m ist das erfüllt. Klar wieso??

2. Redest du über dieselbe Aufgabe 2 von oben? Wo kommt denn da ein n vor??

4d. In (R,+) gibt es zu jedem a ein b mit b+b = a. Aber in (R,*) gibt es z. B. für a=-1 kein b mit b*b = -1. Nach Aufg. 3 sind die beiden Gruppen also nicht isomorph.

P.S.: Was studierst du eigentlich? Hoffentlich nicht Mathe :-/
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Maria
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Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 08:33:   Beitrag drucken

Doch schon, nur fehlt mir manchmal der Überblick..
1) ist jetzt so weit verstanden, danke
2) die Aufgabe sah anders aus, als ich beim ersten Mal schrieb, da ich dachte, ich hätte den Rest verstanden, und nur Probleme mit dem Bild von f. Aber gestern traten bei uns in der Gruppe neue auf. Ich schreib dir mal einfach unsere Ergebnisse rein, sag einfach ob wir vollkommen daneben liegen.
Prüfen sie jeweils, ob Epi-(Mono-, Iso-, Auto-)morphismen vorliegen. Wenn ja, bestimmen sie Bild f.
a) f(x)= 1/x (i) f: (R+,+)-->(R+,+)
(ii) f: (R{0},*)-->(R{0},*)
Unsere Lösungen:
a)(i) ist nichts, da die Funktion nicht operationentreu ist.
a) (ii) ist Automorphismus
b) f(x)= x^n , (n€N), n>=2 (i) f: (R,+)-->(R,+)
(ii) f: (R,*)-->(R,*)
Unsere Lösungen:
b)(i) ist nichts, da die Funktion nicht operationentreu ist
b)(ii) ist Automorphismus für n ungerade und nichts für n gerade, da die Funktion weder injektiv noch surjektiv ist.
c) f(x)= |x| (i) f: (R,+) --> (R,+)
(ii) f: (R,*)-->(R,*)
Unsere Lösungen:
c)(i) und (ii) nichts, da Fkt. weder injektiv noch surjektiv ist.
d) f(x)= n*x, n€N (i) f: (R,+)-->(R,+)
(ii)f: (R,*)-->(R,*)
Unsere Lösungen:
d)(i) ist Automorphismus
(ii) ist nichts, da nicht operationentreu
Überlegen wir etwas falsch, weil uns kommen die Ergebnisse ein wenig komisch vor?
4) Ob du es glaubst oder nicht, kurz nachdem ich gestern abend das schrieb, fiel mir die Lösung auch ein, nur leider hatte mein PC mal wieder kleine Probleme und meine Antwort wurde gelöscht.
Aber, zu der 4a) wo du meintest das sei intuitiv, mir ist das auch klar, das die Isomorph sein muss(Restklassen modulo 3 und Dechdrehungen eines gleichseitigen Dreichecks zum Beispiel). Nur reicht Intuition leider nicht als Beweis. Hast du keine Idee??
Naja, wäre auch nicht so schlimm...Nochmals vielen Dank
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Z
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Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 17:37:   Beitrag drucken

2. Ja, merkwürdig ist das schon, scheint aber soweit richtig.

d (ii) ist für n=1 ein Automorphismus.

b (ii) und c (ii) sind immerhin Homomorphismen.

4a. Schreib doch:

Sei (G,*) eine zyklische Gruppe mit n Elementen. x sei ein erzeugendes Element, d. h.
G = {x0=e,x1=x,x2,...,xn-1} = {xi | i=0,1,2,...,n-1}

Weier sei di für i = 0,1,2,...,n-1 die Drehung eines regelmäßigen n-Ecks um i*360°/n im Uhrzeigersinn. Dann ist offensichtlich (!)
D = {di | i=0,1,2,...,n-1]
die Menge der Deckdrehungen des n-Ecks und
f: G -> D mit f(xi) = di
ein Isomorphismus von (G,*) nach (D,°).
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Maria
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 13:15:   Beitrag drucken

Vielen Dank nochmal
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Albarazi,Abdalsalam (Albarazi)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 23:04:   Beitrag drucken

Wie soll ich mir das Prinzip non Äquivalenzklass vorstellen? Danke

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