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Beitrag |
    
Markus
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 22:36: | 
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Sei U eine offene Teilmenge des R^n und M eine zusammenhängende Untermannigfaltigkeit von U.
Weiterhin sei f: U -> R eine C^1-Funktion mit grad(f) = 0 für alle a aus M.
Dann folgt, daß f auf M konstant ist. |
Basti
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 12:41: |
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Sei a\in M. Da M Mannigfaltigkeit existiert Umgebung U(a) in M, die sich diffeomorph in R^m abbilden läßt. Da auf ihr grad(f)=0 ist, ist f auf U(a) konstant.
Die Menge aller m\in M, wo f(m)=f(a) ist, ist also offen. Abgeschlossen ist sie auch, da Urbild eines Punktes unter stetiger Fkt. Nichtleer klar, da a drin ist. Da M zusammenhängend ist, muß diese Menge also ganz M sein und damit ist f auf M konstant. |
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