| Autor |
Beitrag |
    
Chris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Juni, 2001 - 16:50: | 
|
Hallo!
Wenn ich eien gedrehte Ellipse habe mit
E= { x Element R^2 | S2 i und k=1 aikxixk=1 } (<=Summe von i und k=1 bis 2)
mit
A=(aik )=1/576* [ 57 7*sqrt(3) ]
[ 7*sqrt(3) 43 ]
Wie kann ich jetzt die Hauptachsen un die Achsenlängen der Ellipse
bestimmen?
Ich denke es geht auf folgende zwei Arten:
1. Durch Parametrisierung der Ellipsenpunkte x mit Hilfe der Polardarstellung durch
den Winkel Phi und Bestimmung der Punkte x(max) und x(min) (also maximaler und
minimaler Abstand vom Ursprung)
2. Durch Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren der quadratischen Form
Q(x)= Sk=1,2 i aikxixk (<=Summe von i und k=1 bis 2)
und Aufstellung der Ellipsengleichung bez. der auf ein Orthonormalsystem von
Eigenvektoren bezogenen Hauptkoordinaten
Allerdings habe ich mit dem Berechnen der beiden Methoden Probleme, kann mir da jemand
helfen? Am besten beide Methoden.
Wäre toll!
Grüsse, Chris |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 07:55: |
|
Hi Chris,
Zur besseren Handhabung (man sagt auch " handling")
ändere ich die Bezeichnungen.
Die Variablen x1,x2 in der Gleichung sollen x und y heissen
Dabei gehe ich von der folgenden Ellipsengleichung aus .
57 x^2 + 14 * wurzel(3) * x * y + 43 y^2 = 576.
Diese Gleichung ist mit der von Dir vorgegebenen identisch
Die Ellipsen sind dieselben., aber die Matrix der zugeordneten
quadratischen Form ist jetzt bruchfrei und das ist für die
Berechnungen etwas bequemer.
Die Elemente Deiner Matrix werden alle mit dem Faktor 576
multipliziert ,dasselbe geschieht dann von selbst, wie wir sehen
werden, mit den zugehörigen Eigenwerten.
Die neue Matrix lautet somit
A = (aik) mit a11 = 57 , a12 = a21 = 7 * wurzel(3) ,a22 = 43 .
Bei den folgende Ausführungen sind Zwischenrechnungen
weggelassen, die Zwischenresultate hingegen nicht.
Ich führe Dir drei Methoden vor :
1. Die biedere Methode, bei welcher zuerst die Achsenrichtungen
ermittelt werden.
2. Die Methode mit den Eigenwerten und Eigenvektoren
3. Die Methode mit der Lösung einer Extremalaufgabe
Anm:
Die dritte Methode hat mit der von Dir erwähnten Extremalaufgabe
nichts zu tun.
1..Methode
Es wäre nicht schwierig , die folgende Formel für die
Achsenrichtungen auch herzuleiten , aber lassen wir das.
Mit t als Richtungswinkel einer Hauptachse a bezüglich der x Achse
( t = winkel {+x , a}) gilt für den doppelten Wert 2 t dieses Winkels:
tan( 2 * t ) = 2 * a12 / ( a11 - a22 ) = 14 * wurzel(3) / 14 = wurzel(3)
Mit Hilfe der Doppelwinkelformel des Tangens
tan(2 t) = 2* tan t / [ 1 - ( tan t ) ^ 2 ] berechnet man m = tan t
aus der quadratischen Gleichung
wurzel(3) * m ^ 2 + 2 m - wurzel/3) = 0 zu
m1 = 1 / wurzel(3) und m2 = - wurzel (3).
Zu m1 gehört der Richtungswinkel 30° einer ersten Hauptachse a1,
die wir als neue erste Koordinatenachse X wählen,
zu m2 gehört der Richtungswinkel 30° + 90° = 120°
der zweiten Hauptachse a2, die wir als neue Y-Achse deklarieren.
Die Gleichung der X-Achse im alten System lautet:
y = 1/wurzel(3) * x.
Damit schneiden wir die gegebene Ellipse und erhalten in den
Schnittpunkten A und B gerade zwei Scheitelpunkte der Ellipse
( entweder die Haupt- oder die Nebenscheitel ).
Ergebnis für den Punkt A:
xA = 3/2 * wurzel (3), yA = 3 / 2.
Daraus erhalten wir die Halbachse a:
a = wurzel( xA^2+yA^2 ) = wurzel(9) = 3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die zweite Halbachse b erhalten wir, wenn wir die Ellipse mit
der zweiten Achse a2 , d.h. mit y = - wurzel(3) * x , schneiden
(Schnittpunkte : Scheitel C und D )
Ergebnis: xC = 2 , y C = - 2*wurzel(3) ,
b = Wurzel (xC^2 + yC ^ 2 ) = 4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 08:24: |
|
Hi Chris,
Ich nehme an, dass Du mit dem Verfahren vertraut bist,
die Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Form
F(x,y) = 57 * x ^ 2 + 14* wurzel(3) * x * y + 43 * y^2
zu bestimmen.
Hier die Resultate:
Charakteristische Gleichung für die Eigenwerte L1, L2:
L ^ 2 - 100 * L + 2304 = 0 , daraus
L1 = 64 , L2 = 36;
zugehörige Eigenvektoren:
v1 = {wurzel(3) ; 1 }
v2 = { 1 ; - wurzel (3)}
Im neuen gedrehten Koordinatensystem X ,Y lautet die Gleichung
unserer Ellipse: L1 * X^2 + L1 * Y^2 = 576, also
64 * X^2 + 36 * Y^2 = 576 oder
16* X^2 + 9 * Y^2 = 144, woraus man die Halbachsen
a = 3 auf X und b = 4 auf Y findet
Die Steigungen der neuen Achsen X und Y ergeben sich sofort
aus den Eigenvektoren v1, v2 ; wir erhalten die früheren Resultate
m1 = 1 / wurzel(3) , m2 = - wurzel(3) .
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 09:58: |
|
Hi Chris,
Von allen Methoden der Hauptachsentransformation ,
die ich kenne, ist die folgende wohl die raffinierteste.
Gegeben sei die quadratische Form
F(x,y) = 57 x^2 + 14 * wurzel(3) * x * y + 43 * y^2
Wir untersuchen sie auf dem Einheitskreis k;
Gleichung von k :
x^2 + y^2 = 1
Die stetige (nicht konstante) Funktion F(x,y) nimmt auf der
abgeschlossenen Menge der Punkte auf k ein Maximum
und ein Minimum an.
Es kann gezeigt werden, dass F in genau zwei Punkten U1,U2
ihr Maximum und in zwei Punkten V1,V2 ihr Minimum annimmt.
Die Punkte U1,U2 , bezw.V1,V2 liegen bezüglich des
Nullpunktes O zentralsymmetrisch.
Das überraschende ist nun, dass die eine Hauptachse
durch die Punkte U1 und U2, die andere durch V1 und V2
geht.
Wir wollen nun diese Extremalpunkte bestimmen
Wir wählen für den laufenden Punkt P(x/y) die Darstellung
x = cos t , y = sin t , mit t als Parameter; es gilt 0 < = t < 2*Pi..
Mit diesem Ansatz gehen wir in die Funktionsgleichung
der Form F, womit diese als Funktion der einen Variablen t
dargestellt ist:
F = Ft) = 57* (cos t)^2 +14 * wurzel(3) cos t * sin t + 43*(sin t)^2
Wir leiten F(t) nach t ab und gehen mit Formeln aus der
Goniometrie zum doppelten Winkel 2 t über:
F ' (t) = - 114 * cos t * sin t + 14 * wurzel(3) * (- sin^2 t + cos^2t)
+ 86 * sin t * cos t
= 14 * wurzel(3) * cos (2 t ) - 14 * sin (2 t) ;
setzt man diese Ableitung -um die Extrema zu bestimmen -
null, so erhält man die Gleichung:
tan ( 2 t ) = wurzel (3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Genau dieses Resultat für den doppelten Richtungswinkel t
der Hauptachsen erhielten wir mit der ersten Methode.
Diese Ausführungen sollten genügen;
viel Spass beim Nachrechnen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
