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Anne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 08:35: | 
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Hi.
Ich benötige Hilfe für diese kurze Aufgabenstellung:
Zeigen Sie, dass jedes Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle besitzt.
Danke im Voraus.
bye, Anne |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 10:39: |
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Hallo :
Sei o.B.d.A.
p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + ... + a_n.
Dann ist
p(x) = x^n*{1 + r(x)}
mit
r(x) = a_1/x + ... + a_n/x^n.
Nach der Dreiecksungleichung gilt also
|r(x)| =< |a_1|/|x| + ... + |a_n|/|x|^n.
Sei M eine obere Schranke der |a_i|, und sei
|x| > 1, also |x|^k =< |x| , k = 1,...,n.
Dann ist
|r(x)| =< n*M/|x|.
Waehlen wir nun x so, dass |x| > 2*n*M, also
insgesamt
|x| > max{1, 2*n*M} =: A
so wird |r(x)| < 1/2, folglich fŸr diese x :
1 + r(x) > 1/2 > 0 ==>
p(x) > 0 fŸr x > A und p(x) < 0 fŸr x < - A.
Da p(x) stetig ist, folgt die Beh. aus dem
Zwischenwertsatz.
Gruss
Hans |
Tina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 21:37: |
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Hi Hans!
Muß man denn keine Fallunterscheidung machen, so daß:
1. n ungerade für x->oo geht gegen +oo für a_n>0
2. n ungerade für x->oo gegen +oo für a_n<0
3. n ungerade für x->-oo gegen -oo für a_n>0
4. n ungerade für x->-oo gegen -oo für a_n<0
Oder reicht dein Beweis schon aus???
Tina |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 08:22: |
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Das Vorzeichen von a_n ist unwesentlich. Die
Idee bei der Sache ist: fŸr das Vorzeichen von
p(x) entscheidend ist "schliesslich" (d.h. wenn
|x| hinreichend gross ist) der Term x^n. |
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