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Homogen vom Grad k

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Sascha
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 16:53:   Beitrag drucken

Hm! Ich weis nicht...! Tausend Sachen ausprobiert und trotzdem auf keinen Grünen Zweig gekommen. Wäre von euch Genies einer so nett und kann sich das Problem mal zur Brust nehmen? Ansonsten kann ich nur unzusammenhängende Teilrechnungen abgeben.

Eine Funktion f:R^n{0}->R heißt homogen vom Grad k, wenn

f(lx)=(l^k)*f(x) für alle l>0, x aus R^n{0}

gilt. Man zeige: Eine diffbare Funktion f:R^n{0}->R ist genau dann homogen vom Grad k, wenn für alle x aus R^n{0} gilt

<yf(x), x> = k*f(x)

ACHTUNG: <...> soll (denke ich) das Skalarprodukt sein und bei yf(x) ist y ein auf der Spitze stehendes Dreieck, also der NABLA-Operator.
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 10:39:   Beitrag drucken

Hallo Sascha,
Die Schreibweise R^n{0} ist mir nicht geläufig. Ich weiß nicht, was die Null bedeuten soll.
Ich nehme an, dass es sich um eine reellwertige Funktion f: Rn -> R handelt und ignoriere mal die Null.
=========================
Wir gehen von der Definition für homogene Fuktionen aus:
(Ich schreibe t für dein l, weil besser lesbar)
f(t*x) = tk*f(x).........wobei x Vektor ist: x = (x1; x2; x3......xn)
============
In Komponentenform:
f(tx1, tx2......txn) = tk*f(x1, x2,........xn)..............[1]
================================
Um deine Formel (= Eulerformel für homogene Funktionen) zu erhalten,
berechnen wir die Ableitung nach t für den Punkt t = 1.

Wir differenzieren [1] links und rechts nach t:
Dazu setze ich vorerst t*x1 = y1, t*x2 = y2 .... t*xn = yn
Die linke Seite von [1] also:
f(y1,y2,y3....yn)
Jetzt diffenzieren nach Kettenregel:
(Ich schreibe d statt des parziellen )
df/dt = (df/dy1)(dy1/dt) + (df/dy2)(dy2/dt) +...........(df/dyn)(dyn/dt)
wobei dy1/dt = x1; dy2/dt = x2 usw ist.

df/dt = (df/dy1)x1 + (df/dy2)x2 + ............+(df/dyn)xn
jetzt setzen wir t = 1
dann ist yi = xi
df/dt = (df/dx1)*x1 + (df/dx2)*x2 + ...... +(df/dxn)*xn
dies ist aber in deiner schreibweise:
= <Ñf(x),x>, also das Innenprodukt aus Ñf und x.
=========================
Jetzt die rechte Seite von [1]:
Dies ist einfacher:
k*tk-1*f(x)
und für t=1 ergibt sich: k*f(x)
==========
linke Seite = rechte Seite:

<Ñf(x),x> = k*f(x)
===========================
Nachsatz: man kann auch noch analog die höheren Ableitungen bilden und erhält dann die vollständigen Euler Formeln.
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Sascha
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 14:58:   Beitrag drucken

Was denn das für ein Schrott? Wenn ich
R^n \ {0}
schreibe, nur ohne die beiden Leerzeichen, dann verschluckt er das \! Warum denn das?
Und das kleine L, also l, sieht auch ganz anders aus als in der vorschau!

Naja. Danke erstmal, ich werd mich jetzt mal reinarbeiten und hoffe, das ich es jetzt verstehe. Falls nicht, was ich nicht hoffe, denn du scheinst ja recht ausführlich zu sein, frage ich nochmal nach.
Danke aber!

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