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Skyy (Skyblue)
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 15:43: |
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Bitte, kann mir vielleicht jmd. helfen und hat ne Idee hierzu? Aufgabe: Man zeige, dass für beliebiges reelles x >0 die Ungleichung x/(1+x)<=ln(1+x)<=x gilt. Als Tip ist der Mittelwertsatz angegeben, komme aber nicht mehr weiter...hab bisher: im Intervall [x/(1+x),x] gilt: (f(x)-f(x/(1+x)))/(x-x/(1+x))=f'(ln(1+x)) aber weiß leider nicht weiter... Bin für jeden Hinweis dankbar! :-) |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Juni, 2001 - 06:19: |
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Hi Skyy, Wir wenden auf die Funktion f(t) = ln ( 1 + t ) den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an Dieser lautet: f (a + h) = f (a) + h * f ' ( a + s * h ) mit 0 < s < 1. Es ist f ' (t ) = 1 / (1 + t ). Wir setzen a = 0 , h = x mit x > -1 und erhalten: f (x) = ln ( 1+ x ) = ln 1 + x * 1 / ( 1 + s* x), also: ln ( 1 + x ) = x / ( 1 + s * x ) ..............................................(1) s liegt zwischen 0 und 1 , daher liegt der Nenner 1 + s * x zwischen 1 und 1 + x , die ganze rechte Seite also und damit auch die linke von (1) zwischen x / (1+x) und x , q.e.d. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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