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Mittelwertsatz!!!!

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Skyy (Skyblue)
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 15:43:   Beitrag drucken

Bitte, kann mir vielleicht jmd. helfen und hat ne Idee hierzu?
Aufgabe:
Man zeige, dass für beliebiges reelles x >0 die Ungleichung
x/(1+x)<=ln(1+x)<=x
gilt.

Als Tip ist der Mittelwertsatz angegeben, komme aber nicht mehr weiter...hab bisher:

im Intervall [x/(1+x),x] gilt:
(f(x)-f(x/(1+x)))/(x-x/(1+x))=f'(ln(1+x))

aber weiß leider nicht weiter...

Bin für jeden Hinweis dankbar! :-)
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Juni, 2001 - 06:19:   Beitrag drucken

Hi Skyy,

Wir wenden auf die Funktion f(t) = ln ( 1 + t )
den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an
Dieser lautet:
f (a + h) = f (a) + h * f ' ( a + s * h ) mit 0 < s < 1.
Es ist f ' (t ) = 1 / (1 + t ).

Wir setzen a = 0 , h = x mit x > -1 und erhalten:
f (x) = ln ( 1+ x ) = ln 1 + x * 1 / ( 1 + s* x), also:
ln ( 1 + x ) = x / ( 1 + s * x ) ..............................................(1)
s liegt zwischen 0 und 1 , daher liegt der Nenner 1 + s * x
zwischen 1 und 1 + x , die ganze rechte Seite also
und damit auch die linke von (1) zwischen
x / (1+x) und x , q.e.d.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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