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Untersuche auf Stetigkeit

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Maria
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 08:35:   Beitrag drucken

hmmm ein kleine Studentin brauch Hilfe
Ich habe diese "nette" Aufgabe wobei man die Funktion auf Stetigkeit untersuchen soll

f(x) := { 0 für irrationales x und x=0 und
1/q für rationales x=p/q(p und q teilerfremd,q>0)

nur wie?!?
Bin Dankbar für eure Hilfe
Maria
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Oliver Gerber (Olivergerber)
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 20:56:   Beitrag drucken

Hallo Maria,

unser Prof nennt diese hübsche Funktion "Dirichlet light". Diese Funktion ist stetig auf R\Q und unstetig auf Q.

Zunächst zeigen wir die Unstetigkeit auf Q. Sei x0 aus Q, also x0 = p0/q0 und f(x0) = 1/q0. Wir wählen 0 < e < 1/q0, dann gibt es in jeder d-Umgebung von x0 irrationale Zahlen x, und für diese gilt |f(x)-f(x0)| = |0-1/q0| = 1/q0 > e. Also ist f unstetig auf Q.

Nun zeigen wir die Stetigkeit auf R\Q. Sei also x0 aus R\Q, also f(x0)=0. Sei e>0; zu zeigen: es existiert ein d>0 mit |f(x)-f(x0)| = |f(x)-0| = |f(x)| <= e für |x-x0| <= d. Sei A die Menge derjenigen Punkte aus [x0-1,x0+1], für die |f(x)-f(x0)| <= e falsch ist, d.h. A={x:x aus [x0-1,x0+1], |f(x)| > e} = {p/q:p/q aus [x0-1,x0+1] geschnitten Q, |1/q| > e} = {p/q:p/q aus [x0-1,x0+1] geschnitten Q, |q| < 1/e}, und das ist eine endliche Menge. Wir können also ein d>0 finden, so dass [x0-d,x0+d] geschnitten A = leere Menge gilt. Aus |x-x0| <= d folgt dann tatsächlich |f(x)| <= e. Daher ist f stetig auf R\Q.

Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.

Ciao. Oli

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