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martina
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Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 20:01:   Beitrag drucken

Hey, ich hätt da ein interessantes beispiel für euch:

wie lautet die allgemeine lösung der DGL

x²y''+xy'+(-1/4+mü²*x²)y=0 ????

und:

wie lautet die lösung des randwertproblems:

x²y''+xy'+(-1/4+mü²*x²)y=0 |y(0)|<unendlich, y(2)=0 ?????

und man soll dann das ganze auf ein Sturm-Liouvillesches Randwertproblem bringen.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 14:34:   Beitrag drucken

Hi Martina,

Damit wir die allgemeine Lösung Deiner Dgl. aufstellen
können, müssen wir unbedingt eine partikuläre Lösung
finden, um mit einer bekannten Methode dann die Ordnung
der Dgl. um eine Einheit reduzieren zu können, womit ein
happy End erreicht wäre
Wegen der Struktur der gegebenen Dgl. ist es jedoch möglich,
zu einer partikulären Lösung sofort dazu eine linear unabhängige
Lösung anzuschreiben, sodass dann ein Fundamentalsystem vorliegt.

Nach ein paar vergeblichen Versuchen
(ihre Anzahl ist unwesentlich )
fand ich den tauglichen Ansatz einer Lösung,
der folgendermassen aussieht:
y = sin ( ax ) / wurzel (x) mit a als Konstante
Wir berechnen mit der Quotientenregel die Ableitungen
y ' = [2 a x * cos (ax) - sin (a x )¨/ [2 x ^ 2 * wurzel x ]
y '' = [- a ^ 2 * sin (a x)] / wurzel(x) - [ a * cos (ax)] / x^(3/2)
+ ¾ * [sin (ax )] / x^(5/2)
Setzt man dies in die Dgl. ein und vereinfacht, so entsteht die
Gleichung
x^(3/2) * sin (ax ) * [ m ^ 2 - a ^2] =0 (identisch gleich null)

Es liegt auf der Hand , a = m zu setzen !
Wir haben die partikuläre Lösung y1 = sin (m x) / wurzel (x)
Aus Symmetriegründen ist auch y2 = cos (m x) / wurzel (x )
eine Lösung,wie man explizit bestätigt
Die Wronskische Determinante erhalten wir in vereinfachter Form
nach längerer Rechnung zu
W(x) = y1 * y2 ' - y2 * y1 ' = - m / x^2 ; sie ist somit von null verschieden,wenn vorausgesetzt wird , dass m nicht null ist.

Somit kennen wir die allgemeine Lösung:
y = c1* sin( m x ) / wurzel(x) + c2* cos (m x ) / wurzel (x)
Mit c1,c2 als Integrationskonstanten.

Ich nehme an, dass Du den Rest selber erledigen kannst !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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martina
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 21:40:   Beitrag drucken

sehr vielen, vielen dank!!
liebe grüße!!!
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 22:05:   Beitrag drucken

Hi Martina,

Morgen nehme ich auch zur Teilaufgabe c ) Stellung,
wenn es nicht zu spät ist

Viele Grüsse
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 23:01:   Beitrag drucken

Hi Martina,

Zu den Randwertaufgaben.

Es gibt verschiedene Arten solcher Aufgaben
Grundsätzlich gehören zu den homogenen Gleichungen
wie zu der auch von Dir vorgelegten Gleichung
auch sogenannte homogene Randwertaufgaben.
Ich erwähne die zwei wichtigsten homogenen Arten

A]
Bei der ersten homogenen Randwertaufgabe
ist eine homogene Dgl.
po(x) * y'' + p1(x) * y' + p2(x) * y = 0 gegeben.
Für das Intervall a < = x < = b werden Lösungen gesucht ,
für die
y(a) = 0, y(b) = 0 ist.
(beachte die Nullen, daher der Name "homogen"
auch für die Randbedingungen)

B]
Bei der zweiten homogenen Randwertaufgabe wird
statt der letzten Bedingung gefordert:
y ' (a) = 0 , y '(b) = 0

Wie man vorgeht, zeige ich Dir an einem etwas einfacheren
Beispiel.
Es wird Dir nicht schwerfallen ,das Gesagte auf Deine Dgl.
zu übertragen, von der die allgemeine Lösung ja bekannt ist.

Wir gehe aus von der homogenen Dgl. zweiter Ordnung
y '' + y ' = 0 .
Die allgemeine Lösung ist , wie man leicht feststellt:
y = c 1 * sin x + c2 * cos x
Für das Intervall setzen wir an: a < = x < = b , und wir
wollen damit die erste Randwertaufgabe lösen.
Die Auswertung führt auf das homogene lineare
Gleichungssystem für die Unbekannten c1 und c2 :
c1 * sin a + c2 + cos a = 0
c1 * sin b + c2 * cos b = 0

Soll dieses System ausser der Nulllösung c1 = c2 = 0
noch andere ( nichttriviale ) Lösungen haben, so muss
die Determinante D des Systems null sein, also
D = sin a * cos b - cos a * sin b = 0
Nach dem Subtraktionstheorem der Sinusfunktion kommt:
die Bedingung heraus: D = sin (a-b) = 0
Diese Bedingung ist erfüllt für a - b = k * Pi
mit der beliebigen ganzen Zahl k.
Setzen wir z.B. a = 0 und b = Pi , so ist die Bedingung erfüllt
Die homogene Gleichung für c1,c2 ist dann für c1 = 1 c2 = 0 erfüllt

Die Funktion y = sin x ist dann eine nichttriviale Lösung der
ersten Randwertaufgabe .
Weitere Lösungen gibt es für alle Intervalle der x-Achse, .
welche die Länge Pi haben.

Mit freundlchen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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