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Umkehrfunktion einer Polynomfunktion

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marcel
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Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 13:42:   Beitrag drucken

Wie lautet die Umkehrfunktion einer beliebigen Polynomfunktion n-ten Grades? Vielleicht seh ich nur den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber mir fällt dazu nix ein, und ich habe auch in keinem Buch irgendwas gefunden.
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Xell
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Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 22:42:   Beitrag drucken

Ein Polynom y n-ten Grades ist allgemein eine Funktion der Form

y = Sn m=0 am*xm; an <> 0; am e R.

Um nun die (sofern über dem gesuchten Intervall überhaupt vorhandene!) Umkehrfunktion zu finden, muss man eine Darstellung f(y) finden, d.h. man muss nach x auflösen.

Bsp: f(x) = y = 2x+1
=> x = (y-1)/2
=> f-1(x) = (x-1)/2

Das Auflösen nach x ist im Allgemeinen allerdings nicht möglich (siehe Galois-Theorie), da nur Gleichungen bis einschl. vierten Grades in Radikalen allgemein auflösbar sind.
Die Aufgabe ist also m.E. nicht lösbar.

mfG, (hab ich vielleicht was falsch verstanden?)
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Marcel
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 00:23:   Beitrag drucken

Danke,
dann kann ich ja beruhigt sein, daß mir dazu keine Lösung eingefallen ist. Daß die Umkehrfunktion eventuell nicht existieren könnte, irritiert mich allerdings. Gab es nicht zu jeder injektiven Funktion eine Umkehrfunktion (ist bei mir alles schon eine Weile her)?
Es ging hierbei um eine Berechnung innerhalb eines Programms, aber mit dem PC gibt es ja auch andere Möglichkeiten zu einem Ergebnis zu kommen.
Marcel
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 01:49:   Beitrag drucken

Hallo

Die Galoistheorie sagt nur aus, dass man i.A. die Nullstellen eines nicht mit den Grundrechenoperationen und Wurzelziehen herausbekommen kann. Marcel, Du hast völlig recht, betrachtet man ein Polynom (oder eine beliebige Funktion) über einem Intervall, sodass sie injektiv ist, lässt sie sich immer umkehren. (wobei natürlich der Definitionsbereich der Umkehrfunktion das Bild der Ausgangsfunktion sein muss)

viele Grüße
SpockGeiger
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Xell
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 11:24:   Beitrag drucken

Wie kann man y = x² in R- umkehren? Das meinte ich nämlich.
zur Galois-Theorie: Erstens kenne ich mich damit nicht sonderlich gut aus und zweitens hab ich doch nix anderes sagen wollen, als dass sich keine allgemeine Formel angeben lässt für Polynome > vierten Grades.

mfG
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Xell
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 11:28:   Beitrag drucken

@Marcel: Wenn du beabsichtigst eine Methode zu finden, mit deren Hilfe du die Umkehrfunktion approximieren kannst, dann melde dich; wir überlegen uns dann was dazu. Das dürfte sich nämlich m.E. machen lassen...

mfG
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 15:18:   Beitrag drucken

Hallo Xell

Die Umkehrfunktion ist x=-sqrt(y)

viele Grüße
SpockGeiger
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marcel
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 23:42:   Beitrag drucken

@Xell: Danke für das Angebot, aber ich habe probeweise einfach ein Einschachtelungsverfahren programmiert, das das Ergebnis auf eine feste Anzahl Nachkommastellen berechnet. Der Grad der Funktion ist beim Programmstart nicht bekannt, aber da nur positive Koeffizenten vorkommen, die Funktion also auf R+ streng monoton steigend ist, ist das einfach zu machen. Scheint auch kein Geschwindigkeitsproblem zu sein, Polynome 300sten Grades dauern keine nennenswerte Zeit.
Nochmal Danke für die Hilfe
Marcel

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