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sara (Sara247)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 10:57: | 
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Gegeben sei ein Winkel mit Scheitel O und den Schenkeln s1 und s2 sowie einen Punkt P im Inneren des Winkels.
Konstruiere eine Transversale t die die SChenkel in A un B schneidet und durch P geht , so dass AP =BP
Wie kann ich beweisen, dass OABdas kleinste unter allen Dreiecken O A'B' ist bei denen A' element von s1 ist und B' element von s2 und P element von A'B' |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 17:47: |
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Hi sara,
Die Parallele durch P zu s1 schneide s2 in M.
Trage OM auf dem Schenkel s2 von M aus ab;
Ergebnis: Punkt B
Die Gerade BP ist die gesuchte, welche s1 in A schneidet.
MP ist Mittellinie im Dreieck OAB, daher gilt BP = PA.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
sara (Sara247)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 19:01: |
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danke und wie kann ich beweisen, dass oab das kleinste dreieck ist s.o. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 19:19: |
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Hi sara,
das werde ich Dir,wenn möglich, nch heute zeigen !
Ich muss etws weiter ausholen.
Hast Du meine bisherigen Ausführungen nachvollziehen können ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
sara (Sara247)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 19:21: |
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bislang hab ich das verstanden nur was ist eine mittellinie?hat sie irgendwelche besonderen eigenschaften? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 20:00: |
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Hi sara,
Zu Beginn des zweiten Teils der Lösung Deiner Aufgabe,
stellen wir eine Zeichnung her, die wir sukzessive erweitern,
und bei welcher die Bezeichnung von Punkten,Strecken und
Winkeln ganz wesentlich ist.
Wir beginnen mit den beiden Schenkeln s1 und s2 ,die sich im
Punkt O unter dem spitzen Winkel alpha schneiden .
(s2 möge dabei horizontal liegen und nach rechts zeigen)
A]
wir lösen nochmals die erste Teilaufgabe.
Durch den im Winkelfeld gegebenen Punkt P legen wir die
Parallele p1 zu s1 ,welche s2 im Punkt M schneidet.
Die Strecke OM sei u.
Auf s2 wird diese Streck u von M aus nach rechts zum Punkt B
auf s1 abgetragen. Die Gerade g = BP ist die gesuchte Gerade,
sie schneidet s1 im Punkt A
Weitere Daten:
Es sei MP = v
u und v sind dann die schiefwinkligen Koordinaten des Punktes P,
bezogen auf die Koordinatenachsen s1, s2
Diese Achsen schneiden sich ,wie gesagt,im Punkt O (Nullpunkt)
Die s2 Achse übernimmt die Rolle der x-Achse, die s1-Achse ist
die dazu schiefe y-Achse
Da MP Mittellinie im Dreieck OAB ist, gilt :
OA = 2* v (sofort anschreiben!)
Der Punkt B hat also die Koordinaten xB = 2 u , yB = 0
Der Punkt A hat die Koordinaten xA = 0 , yA = 2 v.
Der senkrechte Abstand h des Punktes A von der Geraden s2 ist
die zu OB = 2 u gehörige Höhe im Dreieck OBA
Mit einfacher Trigonometrie berechnen wir :
h = OA * sin (alpha) = 2 v * sin (alpha)
Die Fläche F1 des Dreiecks OBA ist somit:
F1 = ½ * 2 * u * h = 2*u* v * sin (alpha )..................................(1)
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 20:09: |
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Hi sara,
Eine Mittellinie eines Dreiecks ist die Verbindungsgerade der
Mittelpunkte zweier Seiten; sie ist zur dritten Seite parallel.
Es gilt der Satz.
Eine Parallele zu einer Dreieckseite durch den Mittelpunkt einer
anderen Seite halbiert die dritte Seite und ist daher eine
Mittellinien des Dreiecks.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 21:12: |
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Hi sara,
Jetzt kommen wir zum Höhepunkt und zum krönenden
Abschluss Deiner Aufgabe.
B]
Wir legen eine von AB = g verschiedene Gerade j durch P
Sie schneide s1 in S und s2 in T
OT = xo sei gegeben; ausdrücklich gelte : xo ungleich u
und ohne Beschränkung der Allgemeinheit :xo > u.
Ziel.
Wir wollen nachweisen:
Die Fläche F2 des Dreiecks OST ist grösser als die Fläche F1
des Dreiecks OAB ,die wir bereits berechnet haben
Wir werden insbesondere nachweisen, dass die Differenz
D = F2 - F1 positiv ist.
Nun kommt der heikelste Punkt.
Damit wir die Strecke OS = yo erhalten, müssen wir die Gleichung
der Geraden = TP aufstellen.
Auch in einem schiefwinkligen Koordinatensystem hat eine Gerade
eine lineare Gleichung; man kann die Gerade TP mit der
Zweipunkteform finden, da man die Koordinaten der beiden Punkte
kennt.
Ich gebe das Resultat:
Die Gerade j =TP hat die Gleichung
y = [v / (u - xo) ] * ( x - xo)............................................(2)
Darin sind x , y die Koordinaten eines beliebigen (laufenden)
Punktes auf j.
u und xo treten als Koordinaten der festen Punkte P und T auf
Prüfe nach :setze der Reihe nach die Koordinaten von P und T ein,
und Du stellst fest, dass die Gleichung befriedigt ist.
Den Schnittpunkt S dieser Geraden mit der Geraden s1 ,
d.h. mit der y-Achse
erhalten wir , indem wir in (2) x = 0 setzen und nach y auflösen
Ergebnis:
y =yo = v * xo / ( xo-u )
Wir benötigen die Höhe H durch S im Dreieck OST ; es ist der
Abstand des Punktes S von der Grundlinie OT auf s2
Wir erhalten:
H = OS * sin (alpha) = yo* sin (alpha)
Bravo: jetzt haben wir F2:
F2 = ½ *xo * yo * sin(alpha) = ½* xo [v*xo/(xo-u)] * sin (alpha)
Zum Abschluss bilden wir D = F2 - F1:
D = v * sin (alpha) * [xo^2 / { 2 ( xo - u ) } - 2 * u ]
Der Inhalt der eckigen Klammer ist ,oh Wunder,
ein Bruch, dessen Zähler ein vollständiges Quadrat und
dessen Nenner positiv ist
Das Resultat lautet:
D = v * sin (alpha ) * [ (xo - 2u) ^ 2 / {2* ( xo - u ) ]
D ist somit positiv,wzbw.
Viel Erfolg beim Studium !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 21:14: |
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Hi sara,
Jetzt kommen wir zum Höhepunkt und zum krönenden
Abschluss Deiner Aufgabe.
B]
Wir legen eine von AB = g verschiedene Gerade j durch P
Sie schneide s1 in S und s2 in T
OT = xo sei gegeben; ausdrücklich gelte : xo ungleich u
und ohne Beschränkung der Allgemeinheit :xo > u.
Ziel.
Wir wollen nachweisen:
Die Fläche F2 des Dreiecks OST ist grösser als die Fläche F1
des Dreiecks OAB ,die wir bereits berechnet haben
Wir werden insbesondere nachweisen, dass die Differenz
D = F2 - F1 positiv ist.
Nun kommt der heikelste Punkt.
Damit wir die Strecke OS = yo erhalten, müssen wir die Gleichung
der Geraden = TP aufstellen.
Auch in einem schiefwinkligen Koordinatensystem hat eine Gerade
eine lineare Gleichung; man kann die Gerade TP mit der
Zweipunkteform finden, da man die Koordinaten der beiden Punkte
kennt.
Ich gebe das Resultat:
Die Gerade j =TP hat die Gleichung
y = [v / (u - xo) ] * ( x - xo)............................................(2)
Darin sind x , y die Koordinaten eines beliebigen (laufenden)
Punktes auf j.
u und xo treten als Koordinaten der festen Punkte P und T auf
Prüfe nach :setze der Reihe nach die Koordinaten von P und T ein,
und Du stellst fest, dass die Gleichung befriedigt ist.
Den Schnittpunkt S dieser Geraden mit der Geraden s1 ,
d.h. mit der y-Achse
erhalten wir , indem wir in (2) x = 0 setzen und nach y auflösen
Ergebnis:
y =yo = v * xo / ( xo-u )
Wir benötigen die Höhe H durch S im Dreieck OST ; es ist der
Abstand des Punktes S von der Grundlinie OT auf s2
Wir erhalten:
H = OS * sin (alpha) = yo* sin (alpha)
Bravo: jetzt haben wir F2:
F2 = ½ *xo * yo * sin(alpha) = ½* xo [v*xo/(xo-u)] * sin (alpha)
Zum Abschluss bilden wir D = F2 - F1:
D = v * sin (alpha) * [xo^2 / { 2 ( xo - u ) } - 2 * u ]
Der Inhalt der eckigen Klammer ist ,oh Wunder,
ein Bruch, dessen Zähler ein vollständiges Quadrat und
dessen Nenner positiv ist
Das Resultat lautet:
D = v * sin (alpha ) * [ (xo - 2u) ^ 2 / {2* ( xo - u ) ]
D ist somit positiv,wzbw.
Viel Erfolg beim Studium !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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