| Autor |
Beitrag |
    
Julia
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 17:15: | 
|
Hallo!
Ich muß hier diese Aufgabe lösen und erklären können. Habe mir dazu auch schon ein paar Sachen
überlegt, aber komme entscheidend nicht voran. Evtl. ist hier ja jemand so lieb und kann mit mir zusammen diese Aufgabe "ergründen"
Im voraus vielen Dank,
ciao,
Julia
zur Schreibweise:
-----------------
Für a(index 1) schreibe ich im folgenden a1.
Für a(index i) schreibe ich im folgenden ai.
Für a(index n) schreibe ich im folgenden an.
Für t(index i) schreibe ich im folgenden ti.
Für das Symbol "alpha" schreibe ich alpha
Das Zeichen "element von" heißt hier "element"
usw.
Für das Summenzeichen schreibe ich (SUMME von ... bis ...)
Aufgabe:
--------
Unter einem von den Vektoren a1, ... , an im R^n aufgespannten Spat
(auch Parallelflach/ Paralleltop genannt) verstehen wir die Menge in R^n :
S = S(a1, ... ,an) = { (SUMME von i=1 bis n) ti*ai | t1, ... ,tn element [0,1] }
(was ist das für n = 1, n = 2, n = 3 ?)
An eine Volumenmessung = Volumenfunktion S --> V^n (S) für n-dimensionale
Spate S stellt man folgende drei Forderung:
(1) V^n (S(..., alpha*ai,...)) = |alpha|*V^n(S(a1, ...,an))
.....................{___ __}
...........................|
.....................i-ter Vektor.............für alpha element von R,
(2) V^n (S(..., ai + alpha*ak,...)) = V^n(S(a1, ..., an))
......................{_____ ___}
...............................|
........................i-ter Vektor.........für alpha element von R und i != k,
(3) V^n (S(e1, ... , en)) = 1 .
Aufgabenstellung:
-----------------
a) Machen Sie sich diese Bedingungen für den Fall n = 2, oder n = 3 plausibel.
b) Zeigen Sie, dass durch V^n(S(a1, ... ,an)) = |det(a1, ... , an)|
eine Volumenfunktion gegeben ist (es laesst sich zeigen, dass dies
auch die einzige ist). --> (|.| = Absolutbetrag)
c) Zeigen Sie, dass das Volumen des von Vektoren a1, ... ,an (element
R^n) aufgespannten n-Spates gegeben ist durch
die Wurzel der Gramschen Determinante,
V^n(S(a1, ... ,an)) = sqrt(det(< ai,ak >))
(für n = 2 ergibt sich ein bekannter Ausdruck...)
Hinweis: Schreiben Sie in c) die zugehörige Gram'sche Matrix G =( g(index ik) )mit den Koeffizienten g(index ik) = < ai,ak > als produkt zweier Matrizen. |
Julia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 00:58: |
|
Hi!
Hat sich schon erledigt!
Vielen dank für' anschauen.
ciao |
|
