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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 17:33: | 
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Hilfe! Kann die Aufgabe nicht lösen!
Gegeben sei ein Winkel mit Scheitel O und den Schenkeln s1 und s2, sowie ein Punkt P im Innern des winkels.
a) Geben Sie bitte eine Konstruktionsbeschreibung für die Transversale t, die die Schenkel in A,B schneidet, durch P geht und die Abstände |AP|=|BP| macht. (Hinweis: OP ist Seitenhalbierende des entstehenden Dreiecks.)
b) Geben sie eine "worst-case"-Analyse für den zeichenfehler bei Ihrer Konstruktion.
c) Beweisen Sie, dass OAB das kleinste unter allen Dreiecken OA'B' ist, bei denen A'e s1, B' e s2 und P e A'B' gilt.
P.S. Hab auch eine Skizze, weiß aber nicht, wie man die hier reinbringt! BITTE HELFT MIR! |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 16:41: |
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Hi Miriam
a) 
1) Verbinde P mit O
2) Lege einen beliebigen Punkt Q auf s1 fest, fälle das Lot von Q auf OP, der Lotfußpunkt heiße F
3) konstruiere im Abstand |QF| eine Parallele zu OP, die nicht durch Q geht, ihr Schnittpunkt mit s2 heiße R
4) Konstruiere durch P eine Parallele zu QR, diese ist t
Einsichtlich wird das ganze, wenn man das Lot von R auf OP fällt und eine Strahlensatzfigur erkennbar wird, die deutlich macht, dass die Strecke QR von der Geraden OP in einem Schnittpunkt S in zwei gleiche Strecken geteilt wird.
Dann musste dieser Schnittpunkt S nur durch Parallelverschiebung auf P abgebildet werden, die Abstände zu den Schenkeln bleiben verhältnisgleich.
b) ??? was ist damit gemeint? vielleicht, dass man den Punkt P zu nah bei den Schenkeln liegen hat und das ganze dann etwas ungenau wird? |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 16:43: |
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Lemma5
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 16:44: |
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Lemma5
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 16:45: |
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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 08:44: |
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Hi Lemma5!
Vielen Dank für die Lösung! Ich hab auch eine Skizze, die ich Dir schicken kann, vielleicht kannst Du dann auch Aufgabenteil c lösen! Wie bekomme ich sie nur hierein? Gruß Miriam |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 17:40: |
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Hallo Miriam, eine Skizze kannst du hier einfügen (a) wenn sie als Bild im .jpg oder .gif -Format vorliegt und (b) wenn du genug Geduld hast, falls es nicht beim ersten Mal klappt, s.o.
Dann gibst du in das Eingabefenster den Befehl
\image{skizze}
ein, und folgst den Anweisungen für den Upload.
Falls das dann doch nicht möglich sein sollte: gibt es denn einen wesentlichen Unterschied zwischen meiner Skizze und deiner, oder ist in deiner noch ein entscheidender Hinweis für Teil c) enthalten? Und was ist bei b) verlangt? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 21:44: |
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Hi Miriam,
Lösung zu a)
Die Parallele durch P zu s1 schneide s2 in M.
Trage OM auf dem Schenkel s2 von M aus ab;
Ergebnis: Punkt B
Die Gerade BP ist die gesuchte, welche s1 in A schneidet.
MP ist Mittellinie im Dreieck OAB, daher gilt BP = PA.
Anmerkung : der Begriff der Mittellinie im Dreieck
Eine Mittellinie eines Dreiecks ist die Verbindungsgerade der
Mittelpunkte zweier Seiten; sie ist zur dritten Seite parallel.
Es gilt der Satz.
Eine Parallele zu einer Dreieckseite durch den Mittelpunkt einer
anderen Seite halbiert die dritte Seite und ist daher eine
Mittellinien des Dreiecks.
Lösung zu c)
Zu Beginn stellen wir eine Zeichnung her, die wir sukzessive
erweitern, und bei welcher die Bezeichnung von Punkten,
Strecken und Winkeln ganz wesentlich ist.
Wir beginnen mit den beiden Schenkeln s1 und s2 ,die sich im
Punkt O unter dem spitzen Winkel alpha schneiden .
(s2 möge dabei horizontal liegen und nach rechts zeigen)
A]
wir lösen nochmals die erste Teilaufgabe.
Durch den im Winkelfeld gegebenen Punkt P legen wir die
Parallele p1 zu s1 ,welche s2 im Punkt M schneidet.
Die Strecke OM sei u.
Auf s2 wird diese Streck u von M aus nach rechts zum Punkt B
auf s1 abgetragen. Die Gerade g = BP ist die gesuchte Gerade,
sie schneidet s1 im Punkt A
Weitere Daten:
Es sei MP = v
u und v sind dann die schiefwinkligen Koordinaten des Punktes P,
bezogen auf die Koordinatenachsen s1, s2
Diese Achsen schneiden sich ,wie gesagt, im Punkt O (Nullpunkt)
Die s2 Achse übernimmt die Rolle der x-Achse, die s1-Achse ist
die dazu schiefe y-Achse
Da MP Mittellinie im Dreieck OAB ist, gilt :
OA = 2* v (sofort anschreiben!)
Der Punkt B hat also die Koordinaten xB = 2 u , yB = 0
Der Punkt A hat die Koordinaten xA = 0 , yA = 2 v.
Der senkrechte Abstand h des Punktes A von der Geraden s2 ist
die zu OB = 2 u gehörige Höhe im Dreieck OBA
Mit einfacher Trigonometrie berechnen wir :
h = OA * sin (alpha) = 2 v * sin (alpha)
Die Fläche F1 des Dreiecks OBA ist somit:
F1 = ½ * 2 * u * h = 2*u* v * sin (alpha )..................................(1)
Jetzt kommen wir zum Höhepunkt und zum krönenden
Abschluss der Aufgabe.
B]
Wir legen eine von AB = g verschiedene Gerade j durch P
Sie schneide s1 in S und s2 in T
OT = xo sei gegeben; ausdrücklich gelte : xo ungleich u
und ohne Beschränkung der Allgemeinheit :xo > u.
Ziel.
Wir wollen nachweisen:
Die Fläche F2 des Dreiecks OST ist grösser als die Fläche F1
des Dreiecks OAB ,die wir bereits berechnet haben
Wir werden insbesondere nachweisen, dass die Differenz
D = F2 - F1 positiv ist.
Nun kommt der heikelste Punkt.
Damit wir die Strecke OS = yo erhalten, müssen wir die Gleichung
der Geraden = TP aufstellen.
Auch in einem schiefwinkligen Koordinatensystem hat eine Gerade
eine lineare Gleichung; man kann die Gerade TP mit der
Zweipunkteform finden, da man die Koordinaten der beiden Punkte
kennt.
Ich gebe das Resultat:
Die Gerade j =TP hat die Gleichung
y = [v / (u - xo) ] * ( x - xo)............................................(2)
Darin sind x , y die Koordinaten eines beliebigen (laufenden)
Punktes auf j.
u und xo treten als Koordinaten der festen Punkte P und T auf
Prüfe nach :setze der Reihe nach die Koordinaten von P und T ein,
und Du stellst fest, dass die Gleichung befriedigt ist.
Den Schnittpunkt S dieser Geraden mit der Geraden s1 ,
d.h. mit der y-Achse
erhalten wir , indem wir in (2) x = 0 setzen und nach y auflösen
Ergebnis:
y =yo = v * xo / ( xo-u )
Wir benötigen die Höhe H durch S im Dreieck OST ; es ist der
Abstand des Punktes S von der Grundlinie OT auf s2
Wir erhalten:
H = OS * sin (alpha) = yo* sin (alpha)
Bravo: jetzt haben wir F2:
F2 = ½ *xo * yo * sin(alpha) = ½* xo [v*xo/(xo-u)] * sin (alpha)
Zum Abschluss bilden wir D = F2 - F1:
D = v * sin (alpha) * [xo^2 / { 2 ( xo - u ) } - 2 * u ]
Der Inhalt der eckigen Klammer ist ,oh Wunder,
ein Bruch, dessen Zähler ein vollständiges Quadrat und
dessen Nenner positiv ist
Das Resultat lautet:
D = v * sin (alpha ) * [ (xo - 2u) ^ 2 / {2* ( xo - u ) ]
D ist somit positiv,wzbw.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 14:08: |
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Hi Ihr beiden!
Danke für Eure Hilfen! Du hast Dir ja echt viel Mühe gegeben, megamath.
Das mit der Skizze wollte ich nur mal generell wissen Lemma5! Für spätere Aufgaben! Mit b ist gemeint, daß man beim Zeichnen einer Linie mit einem etwas dickeren Bleistift keine exakt dünne Linie zeichnen kann und somit Fehler unterlaufen können. Unser Professor eben. Vergiß es einfach. Gruß Miriam |
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