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Eine besondere Binomialreihe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Näherungen/Darstellungsformen » Eine besondere Binomialreihe « Zurück Vor »

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MarkusP
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 16:18:   Beitrag drucken

Hallo. Ich habe Probleme bei der Herleitung folgender Reihenentwicklung:

1/2 - 1*3/2*4*6 + 1*3*5*7/2*4*6*8*10 - 1*3*5*7*9*11/2*4*6*8*10*12*14 ±...
=Ö(Ö2 - 1/2) (in unformatierter Schreibweise : sqrt[(sqrt[2] - 1)/2] )

Ich habe bereits eine sehr ähnliche Aufgabe gelöst, die ich kurz hinschreiben möchte (vielleicht kann sie ja bei der Lösung der obigen Aufgabe helfen):

1/2 + 1*3/2*4*6 + 1*3*5*7/2*4*6*8*10 + 1*3*5*7*9*11/2*4*6*8*10*12*14 +... = 1/2*Ö2.

Dieses Ergebnis erhält man, indem man von der Binomialentwicklung von (1 + 1)1/2 die Enwicklung von (1 - 1)1/2 subtrahiert und anschließend den gesamten Ausdruck durch 2 dividiert.

Bitte helft mir!

Markus.
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MarkusP
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 20:24:   Beitrag drucken

Warum meldet sich niemand zu dieser Aufgabe?
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 21:26:   Beitrag drucken

Hm, es handelt sich also um

sum(k=0..oo){(-1)^k*binom(1/2,2k+1).

Spontan faellt mir dazu gerade nichts gescheites ein. Wie steht's denn mit der Konvergenz ?
Die Newton-Reihe sum(k=0..oo){binom(s,k)x^k}=(1+x)^s

konvergiert doch nur fŸr|x| < 1 ?
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MarkusP
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 10:55:   Beitrag drucken

Ich habe im Bronstein nachgeschaut, dort steht, daß die Binomialreihe auch für x=1 konvergiert, falls die reelle Potenz a von (1 + x)a positiv ist. Ansonsten ergäbe auch die andere Aufgabe, die ich bereits gelöst habe keinen Sinn.

Ich habe mir auch schon wie Du die Reihe S¥ k=0 (-1)k binom(1/2,2k+1) xk für x=1 aufgeschrieben, aber zu versuchen ,die Summe dieser Reihe zu ermitteln, ist glaube ich hoffnungslos.

Die Aufgabe muß mit irgendeinem faulen Trick, wie ich ihn bei der anderen Reihe benutzt habe, lösbar sein. Aber ich frage mich, wie ich die alternierenden Vorzeichen dort reinbekommen soll.

Übrigens kann ich keine Lösung dieser Aufgabe bekommen, sie stammt aus dem Buch "Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen", nicht von einem Übungsblatt, und im Buch stehen natürlich keine Lösungen.

Kannst Du vielleicht jemandem, der sich auf diesem Gebiet gut auskennt, das Problem vorlegen?

Diese Aufgabe läßt mir wirklich keine Ruhe...

Markus.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 13:44:   Beitrag drucken

Ich werde mich morgen mal in der Biblithek
umsehen, vielleicht kommt mir dann doch noch
eine Idee.
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MarkusP
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 12:27:   Beitrag drucken

Ich frage mich, ob man nicht den Binomialkoeffizienten (1/22k+1) irgendwie in eine Summe oder ein Produkt von Binomialkoeffizienten zerlegen kann. Auch habe ich ein Additionstheorem gefunden:

S¥ n=0 (-1)n (-p -1n) xn = S¥ n=0 (n + pn) xn.

Vielleicht ist dieses Theorem nicht nur für ein natürliches, sondern auch für ein reeles p gültig.

Vielleicht wäre auch einer der Moderatoren so freundlich, sich zu diesem doch nicht ganz leichten Thema zu melden.

Markus
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 15:35:   Beitrag drucken

Hallo Markus :

Nicht der Weg in die Bibliothek, wohl aber der Weg
Ÿber's Komplexe fŸhrte mich an's Ziel :

In

(1+z)^(1/2)-(1-z)^(1/2)

= 2*sum(k=0..oo)binom(1/2,2k+1)*z^(2k+1)

setze z = i. Die linke Seite wird dann

(1+i)^(1/2) - (1-i)^(1/2) = 2i*Im[sqrt(1+i)]

= 2i*sqrt{[sqrt(2)-1]/2},

die rechte Seite wird

2i*sum(k=0..oo)(-1)^k*binom(1/2,2k+1).

Das waer's dann.

Gruss

Hans

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