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Brauche Hilfe DRINGEND

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Tobias Wieland (Mbstudi)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 21:02:   Beitrag drucken

Ich soll die Formel
Summe k = 1 bis n Summe j = 1 bis k (j - k)
berechnen.
Kann mir jemand helfen?
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Ganymed
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 00:50:   Beitrag drucken

Hallo Mbstudi, meinst du diesen Term:

Sn k=1Sk j=1 (j-k) ?

= Sn k=1[(Sk j=1j) - (Sk j=1k)]

in der zweiten Summe ist jeder Term gleich j*k, mit Sk j=1k = k² folgt dann

= (Sn k=1Sk j=1j) - Sn k=1

mit Sk j=1j = (k+1)k/2 (Beweis suche unter zwei oder drei der Suchworte +natürliche +zahlen +summe +induktion o.ä.)

= [Sn k=1(k+1)k/2] - Sn k=1

= 1/2[(Sn k=1k²) + Sn k=1k ] - Sn k=1

= 1/2 [Sn k=1k ] - 1/2 Sn k=1

und mit Sn k=1k² = (2n+1)(n+1)n/6 (Beweis Klassen 12/13:Lineare Algebra:Sonstiges:Summe von Reihen!) folgt

= ½n(n+1)[½-(2n+1)/6]

= ½n(1+n)[1-n]/3
= n(1-n²)/6
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Manu
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 21:28:   Beitrag drucken

Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:
Zeigen Sie(mit Hilfe von Winkelfunktionen),dass die Seitenlänge eines regulären 2n-Ecks im Kreis aus der des regulären n-Ecks vermöge der beziehung S2n= Wurzel aus 2- Wurzel aus 4-Sn(zum Quatrat) hervorgeht!

Entschuldigung, aber ich kann die mathematischen Zeichen nicht auf dem Computer; hoffentlich könnt ihr mir weiter helfen.....
Danke
Manu
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Scapegrace
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 23:54:   Beitrag drucken

Hallo Manu, aus der Skizze

n-ter Teil des n-Ecks

lässt sich entnehmen:

Das Dreieck AFC sei der n-te Teil des ursprünglichen n-Ecks.
Da es gleichschenklig ist, gilt |AF|=|AC|=r,
wobei r der Umkreisradius des n-Ecks ist.

Sei b die Basis des Dreiecks AFC.

Im Dreieck ABC gilt:
sin(2a) = b/2r, da b/2=|BC| ist.
also
b=2r*sin(2a)


Das Dreieck ADC ist der 2n-te Teil eines 2n-Ecks.
Dort gilt für die Basislänge |DC|:
|DC|/2 = r*sin(a)
|DC| = 2r*sin(a)


Gesucht ist ein Zusammenhang, mit dem sich |DC| durch b ausdrücken lässt.

Additionstheorem Sinus:
sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*Ö(1-sin²(a))
Dies soll nach sin(a) umgestellt werden.
quadriere:
sin²(2a) = 4*sin²(a)*(1-sin²(a))

Setze x:= sin²(a) und löse nach x auf:
sin²(2a) = 4*x*(1-x) |:4
¼sin²(2a) = x-x²
x²-x+¼sin²(2a) = 0
x = ½ ±Ö(¼-¼sin²(2a))
x = ½ (1 ± Ö(1-sin²(2a))
Ersetze wieder x=sin²(a):

sin²(a) = ½ (1 ± Ö(1-sin²(2a))
Diese Formel gilt nur, wenn das ± durch - ersetzt wird
(prüfe z.B. für a=30° nach, bei + ergibt sich eine falsche Aussage)

Also
sin²(a) = ½ (1 - Ö[1-sin²(2a)] )
Wurzel ziehen
sin(a) = Ö(½ (1 - Ö[1-sin²(2a)] ) )


also gilt
|DC| = 2r*Ö(½ (1 - Ö[1-sin²(2a)] ) )

Hierin wird sin(2a) wieder ersetzt durch sin(2a) = b/2r

|DC| = 2r*Ö(½ (1 - Ö(1-(b/2r)²) ))
|DC| = 2r*Ö(½ (1 - Ö(1-(b²/(4r²))) ))

|DC| = Ö(4r²*½ (1 - Ö(1-(b²/(4r²))) ))
|DC| = Ö(2r²*(1 - Ö(1-(b²/(4r²))) ))

|DC| = Ö(2r² - 2r²Ö(1-(b²/(4r²)) ))
|DC| = Ö(2r² - Ö(4r²-4r²(b²/(4r²)) ))

|DC| = Ö(2r² - Ö(4r²-b²) )

Das r will nicht so recht rausfallen... kann es sein, dass der Einheitskreis gemeint ist?

Also mit r=1 ergäbe sich

|DC| = Ö(2 - Ö(4-b²) )

was etwa so aussieht wie das verlangte.
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Scapegrace
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Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 00:10:   Beitrag drucken

halt stop da ist was falsch, ändert wegen r=1 aber nichts am Ergebnis:
nach der Zeile
|DC| = Ö(2r² - 2r²Ö(1-(b²/(4r²)) ))
muss es richtig heißen:

|DC| = Ö(2r² - Ö(4r4-4r4(b²/(4r²)) ))

|DC| = Ö(2r² - Ö(4r4-r²b²) )

Also trotzdem
|DC| = Ö(2 - Ö(4-b²) )

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