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Tobias Wieland (Mbstudi)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 21:02: |
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Ich soll die Formel Summe k = 1 bis n Summe j = 1 bis k (j - k) berechnen. Kann mir jemand helfen? |
Ganymed
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 00:50: |
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Hallo Mbstudi, meinst du diesen Term: Sn k=1Sk j=1 (j-k) ? = Sn k=1[(Sk j=1j) - (Sk j=1k)] in der zweiten Summe ist jeder Term gleich j*k, mit Sk j=1k = k² folgt dann = (Sn k=1Sk j=1j) - Sn k=1k² mit Sk j=1j = (k+1)k/2 (Beweis suche unter zwei oder drei der Suchworte +natürliche +zahlen +summe +induktion o.ä.) = [Sn k=1(k+1)k/2] - Sn k=1k² = 1/2[(Sn k=1k²) + Sn k=1k ] - Sn k=1k² = 1/2 [Sn k=1k ] - 1/2 Sn k=1k² und mit Sn k=1k² = (2n+1)(n+1)n/6 (Beweis Klassen 12/13:Lineare Algebra:Sonstiges:Summe von Reihen!) folgt = ½n(n+1)[½-(2n+1)/6] = ½n(1+n)[1-n]/3 = n(1-n²)/6 |
Manu
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 21:28: |
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Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter: Zeigen Sie(mit Hilfe von Winkelfunktionen),dass die Seitenlänge eines regulären 2n-Ecks im Kreis aus der des regulären n-Ecks vermöge der beziehung S2n= Wurzel aus 2- Wurzel aus 4-Sn(zum Quatrat) hervorgeht! Entschuldigung, aber ich kann die mathematischen Zeichen nicht auf dem Computer; hoffentlich könnt ihr mir weiter helfen..... Danke Manu |
Scapegrace
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 23:54: |
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Hallo Manu, aus der Skizze lässt sich entnehmen: Das Dreieck AFC sei der n-te Teil des ursprünglichen n-Ecks. Da es gleichschenklig ist, gilt |AF|=|AC|=r, wobei r der Umkreisradius des n-Ecks ist. Sei b die Basis des Dreiecks AFC. Im Dreieck ABC gilt: sin(2a) = b/2r, da b/2=|BC| ist. also b=2r*sin(2a) Das Dreieck ADC ist der 2n-te Teil eines 2n-Ecks. Dort gilt für die Basislänge |DC|: |DC|/2 = r*sin(a) |DC| = 2r*sin(a) Gesucht ist ein Zusammenhang, mit dem sich |DC| durch b ausdrücken lässt. Additionstheorem Sinus: sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*Ö(1-sin²(a)) Dies soll nach sin(a) umgestellt werden. quadriere: sin²(2a) = 4*sin²(a)*(1-sin²(a)) Setze x:= sin²(a) und löse nach x auf: sin²(2a) = 4*x*(1-x) |:4 ¼sin²(2a) = x-x² x²-x+¼sin²(2a) = 0 x = ½ ±Ö(¼-¼sin²(2a)) x = ½ (1 ± Ö(1-sin²(2a)) Ersetze wieder x=sin²(a): sin²(a) = ½ (1 ± Ö(1-sin²(2a)) Diese Formel gilt nur, wenn das ± durch - ersetzt wird (prüfe z.B. für a=30° nach, bei + ergibt sich eine falsche Aussage) Also sin²(a) = ½ (1 - Ö[1-sin²(2a)] ) Wurzel ziehen sin(a) = Ö(½ (1 - Ö[1-sin²(2a)] ) ) also gilt |DC| = 2r*Ö(½ (1 - Ö[1-sin²(2a)] ) ) Hierin wird sin(2a) wieder ersetzt durch sin(2a) = b/2r |DC| = 2r*Ö(½ (1 - Ö(1-(b/2r)²) )) |DC| = 2r*Ö(½ (1 - Ö(1-(b²/(4r²))) )) |DC| = Ö(4r²*½ (1 - Ö(1-(b²/(4r²))) )) |DC| = Ö(2r²*(1 - Ö(1-(b²/(4r²))) )) |DC| = Ö(2r² - 2r²Ö(1-(b²/(4r²)) )) |DC| = Ö(2r² - Ö(4r²-4r²(b²/(4r²)) )) |DC| = Ö(2r² - Ö(4r²-b²) ) Das r will nicht so recht rausfallen... kann es sein, dass der Einheitskreis gemeint ist? Also mit r=1 ergäbe sich |DC| = Ö(2 - Ö(4-b²) ) was etwa so aussieht wie das verlangte. |
Scapegrace
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 00:10: |
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halt stop da ist was falsch, ändert wegen r=1 aber nichts am Ergebnis: nach der Zeile |DC| = Ö(2r² - 2r²Ö(1-(b²/(4r²)) )) muss es richtig heißen: |DC| = Ö(2r² - Ö(4r4-4r4(b²/(4r²)) )) |DC| = Ö(2r² - Ö(4r4-r²b²) ) Also trotzdem |DC| = Ö(2 - Ö(4-b²) ) |
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