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Beitrag |
    
Thomas Pickel (Thomaspickel)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 19:25: | 
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Hallo,
für folgende Regel für die Teilbarkeit einer Zahl n durch 13 suche ich einen Beweis:
13 teilt n genau dann, wenn die Summe aus der Zahl, die entsteht, wenn man von n die letzte Ziffer weglässt, und dem Vierfachen der letzten Ziffer von n durch 13 teilbar ist.
Interessante Regel, aber wie geht der Beweis? |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 10:11: |
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Das ist recht einfach herzuleiten:
Sei x+4y durch 13 teilbar, dann gilt:
x+4y=13k
x=13k-4y
Sei y die Einerstelle einer Dezimalzahl n und x jene Zahl, die entsteht, wenn die Einerstelle weggelassen wird. Dann ist:
n=10x+y
n=130k-40y+y=130k-39y=13(10k-3y)
n ist daher durch 13 teilbar.
Bleibt noch zu zeigen, dass sich jede durch 13 teilbare Zahl in der Form 130k-39y mit y<10 schreiben läßt. Das ist dann möglich, wenn jede natürliche Zahl in der Form 10k-3y geschrieben werden kann. Dies ist deshalb möglich, da 3y mod 10 für y=0...9 eine Permutation der Ziffern von 0...9 liefert.
Gruß, Rudolf
PS.: Interessant ist ferner, dass die wiederholte Anwendung dieser Regel auf große Zahlen immer kleinere Zahlen liefert, die auf ihre Teilbarkeit durch 13 geprüft werden müssen, bis man letztlich 13 selbst erhält, wenn die Zahl durch 13 teilbar war. |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 10:20: |
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Oops, betrifft den Nachsatz:
Das Verfahren muß nicht bei 13 abbrechen. Aus 39 erhält man wieder 39 und aus 26 wieder 26. 39 dürfte aber die größte Zahl sein, die am Ende herauskommen kann. |
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