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Sierra
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 16:27: | 
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Hi
Folgende Aufgabe:
Untersuche das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen:
Die Summen immer von k=1 bis oo
a) sum[(k+2)/(k^3+7*k^2)]
b) sum[(k+4)/(k*(k+3))]
Danke im voraus |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 18:20: |
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Hallo :
Man wendet das Vergleichskriterium an .
a) (k+2)/(k^3+7k) < (k+2)/(k^3+2k^2) = 1/k^2 ,
und sum(1/k^2) konvergiert bekanntlich.
b) Du zeigst ebenso leicht, dass
(k+4)/(k(k+3)) > 1/k
und du weisst, dass sum(1/k) (harmonische Reihe)
divergiert.
Gruss
Hans |
Martin Ozimek
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 19:57: |
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Hey
Da wird Herr Nelius aber gar nicht erfreut sein. Ein Tipp: Bonuspunkte sind zwar schön und gut, aber diese Aufgaben waren ja nun wirklich mit dem Script leicht zu lösen. Wenn Du Dich nicht dahinterklemmst, nützen Dir auch die Bonuspunkte nichts.
viele Grüße
Martin Ozimek |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 08:03: |
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Hi allerseits,
Zur Beruhigung der Gemüter eine kleine Aufgabe meinerseits.
Man berechne die Summe S der unendlichen Reihe, von der
Hans nachgewiesen hat, dass sie existiert
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das Resultat samt
Herleitung per e-mail übermittelt würde.
Mit bestem Dank und freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 17:11: |
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Hallo megamath:
S = Pi^2/21 + (5/49)*H(7) = Pi^2/21 + 363/1372.
Beweis :
Partialbruchzerlegung ergibt
(k+2)/(k^3+7k^2)=(2/7)(1/k^2)+(5/49){1/k-1/(k+7)}
Innerhalb {...} ergaenzt man die Terme
- + 1/(k+j) , j = 1,...,6 und kann dann die so
entstehenden Teleskopsummen ausrechnen :
sum(k=1..n){1/(k+j)-1/(k+j+1)} = 1/(j+1)-1/(n+j+1)
==> sum(k=1..oo){1/(k+j)-1/(k+j+1)} = 1/(j+1)
==> sum(k=1..oo){1/k-1/(k+7)}=sum(j=0..6)(1/(j+1))
= 1 + 1/2 +...+ 1/7 = H(7).
Gruss
Hans |
MarkusP
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 17:36: |
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Ich bin zwar kein Informatiker, aber vielleicht könnt ihr mir trotzdem folgende Reihe herleiten:
1/2 - 1*3/2*4*6 + 1*3*5*7/2*4*6*8*10 - 1*3*5*7*9*11/2*4*6*8*10*12*14 ±...
=Ö(Ö2 - 1/2) (in unformatierter Schreibweise : sqrt[(sqrt[2] - 1)/2] )
Ich habe bereits eine sehr ähnliche Aufgabe gelöst, die ich kurz hinschreiben möchte (vielleicht kann sie ja bei der Lösung der obigen Aufgabe helfen):
1/2 + 1*3/2*4*6 + 1*3*5*7/2*4*6*8*10 + 1*3*5*7*9*11/2*4*6*8*10*12*14 +...
= 1/2*Ö2.
Dieses Ergebnis erhält man, indem man von der Binomialentwicklung von (1 + 1)1/2 die Enwicklung von (1 - 1)1/2 subtrahiert und anschließend den gesamten Ausdruck durch 2 dividiert.
Bitte helft mir!
Markus. |
Martin Ozimek
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 18:12: |
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Hallo Sierra, Hallo Megamath
Deiner Reaktion entnehme ich, dass mein Posting falsch rübergekommen. Es war wirklich nur ein gutgemeinter Tipp, da ich eine der Übungsgruppen leite, und mir das Wohlergehen der Leute am Herzen liegt.
viele Grüße
Martin Ozimek |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 19:34: |
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Hallo Hans,
Besten Dank für Deine Bemühungen.
Ich habe mit derselben Methode dasselbe Resultat
erhalten.
Es ist übrigens bemerkenswert, dass man die
Partialbruchzerlegung nicht nur bei der Ermittlung
gewisser Integrale, sondern auch bei unendlichen Reihen
des vorliegenden Typs mit Erfolg einsetzen kann
Weiter ist bemerkenswert ,wenn nicht sensationell,
dass ausser uns auch z.B. Maple das richtige Resultat
auf Anhieb findet
Weiterhin viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 19:56: |
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Hi Martin,
In der Tat war ich leicht pikiert über Deine Reaktion.
Da ich jetzt die Hintergründe kenne, kann ich dafür
ein gewisses Verständnis aufbringen.
Ich möchte hervorheben , dass wir alle ,
Tutoren , Assistenten, Professoren , kurz Lehrer und
Lehrerinnen aller Stufen
bei der Ausbildung und Weiterbildung den Studierenden
möglichst breit gefächerte Hilfen anbieten.
An ihnen liegt es dann wohl, diese Unterstützung nicht zu
missbrauchen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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