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Jens Itzig (Jens_Itzig)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 12:04: | 
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Hi Leute!
Gesucht wird folgendes unbestimmtes Integral:
Integral von:
((7x^2)-19x+30)/((x^3)-(6x^2)+10x) nach dx
Ich dachte da an Partialbruchzerlegung. Nur finde ich keine gescheiten Ansatz, von der Lösung ganz zu schweigen.
Ich wäre über den Ansatz und vielleicht auch noch den Rechenweg sehr dankbar !
DANKE.
Gruß Jens |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 13:17: |
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Hi Jens
Der Nenner hat neben der reellen Nullstelle x = 0
zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Ansatz für die Partialbruchzerlegung des
Integranden f(x):
f(x) = A / x + (B x +C ) / ( x ^ 2 - 6 x + 10 )
Addiert man die Brüche rechts
( Hauptnenner x ^ 3 - 6 x ^ 2 + 10 x )
und vergleicht man die Koeffizienten von x^2 , x ^1
und x^0 , so erhält man folgende Gleichungen für A,B,C:
A + B = 7
C - 6 A = - 19
10 A = 30
Daraus entspringen die Lösungen:
A = 3 , B = 4 und C = - 1
Vor dem Integrieren modifizieren wir den letzten Bruch etwas,
indem wir ihn in zwei Brüche zerlegen:
Wir schreiben:
f(x) = 3 / x + ( 4 x - 1 ) / ( x ^ 2 - 6 x + 10 ) =
3 / x + ( 4 x - 12) / (x ^ 2 - 6 x + 10 ) + 11 / [ 1 + ( x - 3 ) ^ 2 ]
Jeder Bruch lässt sich bequem integrieren
Resultat:
3 * ln x + 2 * ln (x ^ 2 - 6 x + 10 ) + 11 * arc tan (x-3)
Beachte
Im mittleren Bruch steht im Zähler gerade das Zweifache der
Ableitung des Nenners. Daher erhalten wir als Integral das
Doppelte des Logarithmus des Nenners.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Jens Itzig (Jens_Itzig)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 16:08: |
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Oh, besten Dank!!! Das klingt einleuchtend.
Gruß Jens |
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