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Thea
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 18:18: | 
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Die Beziehung F(x,y)=x+y+y³=0 definiert eine implizite Funktion y=f(x).Im Punkt x(0)=1 soll mit Hilfe des Satzes über die Implizite Funktion die Ableitung berechnet werden. |
Thea
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 18:21: |
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Kann mir wirklich keiner weitehelfen?Ich weiß aber,daß man erst noch den Punkt y(0)durch nummerisches Verfahren herausbekommen muß. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 09:49: |
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Hi Thea ,
Zuerst differenzieren wir die vorgelegte Relation implizit
nach x.
Bei der Ableitung von y^3 verwenden wir die Kettenregel,
indem wir zuerst nach y ableiten und das Resultat 3*y^2
mit der inneren Ableitung von y nach x , d.h. mit y ' ,
multiplizieren.
So erhalten wir insgesamt folgende Ableitung beider Seiten
nach x
1 + y' + 3 * y ^ 2 * y' = 0
aufgelöst nach y' :
y ' = - 1 / ( 1+ 3 * y ^2 ) .....................................................(I)
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Zweiter Teil der Aufgabe
Es gilt nun, zum gegebenen x-Wert ( x = 1 ) den zugehörigen
y - Wert zu bestimmen
Diesen findet man als einzige reelle Lösung der kubischen
Gleichung
y ^ 3 + y + 1 = 0
entweder mit Cardano:
y = -1/6 * t +2 / t , wobei t = [108+12* wurzel (93) ] ^ (1/3) ist
oder mit einer Näherungsmethode:
y ~ - 0 , 6823278.
Dieser Wert ist in die Funktionsgleichung (I) für y ' einzusetzen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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