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Beitrag |
    
Lisa
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 18:14: | 
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für f(x1,x2)=(x1)^2+(x2)^2 soll die Tangentialebene und der zugehörige Normalenvektor n im Punkt (1,1,0) angegeben werden. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 19:13: |
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Hi Lisa,
Es bieten sich zwei Lösungsmethoden dar-
1.
Wir verwenden die Methode der Polarisation
der Gleichung zweiter Ordnung
Ersetze in der Gleichung den linearen Term
z ( für x3 ) durch ½ * ( z +z1)
x^2 (für x1^2) durch x1x ,
y^2 ( für y2^2) durch y1 y
und Du bekommst die Gleichung der Tangentialenene,
zum Berührungspunkt P1(x1/y1/z1) ,nämlich
½ *(z +z1) = x1 x + y1 y , in concreto:
2 x + 2 y - z = 0
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als Gleichung der gesuchten Tangentialebene .
Normalenvektor sofort n = { 2 ; 2 ; 1 }
2: Mit Hilfe des Gradienten
Kennst Du diesen Begriff ?
Wenn ja, komme ich auf die Angelegenheit zurück.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Lisa
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 18:18: |
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Ich kenne den Gradienten.Wäre mir auch lieber wenn die Aufgabe damit gelöst wird.Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 19:21: |
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Hi Lisa,
Ich habe den Verdacht, dass in der Aufgabenstellung
ein Tippfehler steckt.
Sollte der gegebene Punkt P1 nicht ein Punkt der
Kegelfläche sein ?
Dann müsste etwa gelten
P1 (1/1/2) statt (1/1/0)
Im Folgenden rechne ich mit diesem Punkt weiter.
Statt x1 steht wiederum x , statt x2 steht y und statt
x3 steht z.
Wir bringen die Gleichung der Fläche auf null ; es entsteht
x ^ 2 + y^2 - z = 0 .
Die linke Seite stellt ein Funktion F in drei Variablen x , y , z
dar, nämlich
F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0.
Mit Hilfe der partiellen Ableitungen von F nach x , nach y ,
und nach z schreiben wir den grad (F) an:
grad(F) = { 2x ;2y ;-1 }
grad ( F ) ist ein Normelenvektor n der Fläche im allgemeinen
Punkt P1 (x/y/z) der Fläche, somit gilt für den von mir gegebenen
Punkt:P1:
n = {2;2;-1}
Gleichung der Tangentialebene in P1:
2x + 2y - z = 2.
Bedeutend schwieriger wird die Aufgabe, wenn P1 ein Punkt
ausserhalb der Kegelfläche sein soll.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser megamath. |
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