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Beitrag |
    
Inga M.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 11:12: | 
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Mir bereitet diese Aufgabe Probleme:
Berechnen Sie den Mittelwert von e^(-z) über die Kugel x²+y²+z²<=1.
Ich habe einen Lösungsansatz, dabei wird das Integral aufgestellt.
e^(-z)=1(V)* int e^(-z)*(int*int dx dy) dz
für 1/V wird jedoch das Volumen der Kugel ohne den Radius eingesetzt. Wieso?
Und warum erhalte ich nach dem Integrieren nach dx, dy und schließlich dz
3/4*(-e^(-z)+(z²+2z+2)*e^(-z))in den Grenzen von -1 bis 1 ?
Wäre toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
Inga |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 07:50: |
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Hi Inga,
Deine Aufgabe kann mit verschiedenen Methoden
gelöst werden
Ich wähle eine erste Methode, welche mit einer einzelnen
Integration zum Ziel führt
Die Einheitskugel entstehe durch Rotation des Kreises
y ^ 2 + z ^ 2 = 1 in der (y,z) -Ebene ; daraus berechnen wir
y ^ 2 = 1 - z ^ 2.
Als Volumenelement wählen wir Scheiben (Zylinder)
senkrecht zur z-Achse, Radius y = wurzel(1-z^2) , Höhe dz.
Das Elemetarvolumen dV ist somit:
dV = Pi * y^2 * dz = Pi * ( 1 - z ^ 2 ) * dz
Wir multiplizieren dV mit e^(-z) und integrieren das Produkt
über z von z = -1 bis z = 1 .Es entsteht das Integral
J = int [e^ (-z) * dV] = Pi* int [e ^ (-z) * [1 - z ^ 2] * dz .
Wertet man dieses Integral aus (Methode der partiellen Integration),
so erhält man :
J = 4 * Pi / e.
Das gesuchte Mittel M ist der Quotient
M = J / V, wobei V das Volumen der Einheitskugel ist:
V = 4/3 *Pi ; wir erhalten
M = 3 / e als Schlussresultat
Auf Wunsch werde ich Dir auch die Methode mit einem
Dreifachintegral vorführen,.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 08:57: |
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Hi Inga ,
Um Deine Aufgabe mit einem Dreifachintegral zu lösen,
setzen wir Kugelkoordinaten ein .
Die entsprechenden Transformationsgleichungen
zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x , y , z und den
Kugelkoordinaten r , u , v lauten:
x = r * cos v * sin u
y = r * sin v * sin u
z = r * cos u
Das Volumenelement ist dV = r^2 * sin u * dr * du * dv
Damit berechnen wir zwei Dreifachintegrale:
a)
Als Vorübung ermitteln wir:
V = int(int(int (r^2* sin u ,u = 0..Pi),v = 0..2 * Pi) , r = 0..1)
Resultat:
V = 4 / 3 * Pi als Volumen der Einheitskugel.
b)
Es folgt die Hauptübung:
mit dem zusätzlichen Faktor f = e ^ ( - z ) = e ^ ( - r * cos u )
im Integranden erhalten wir J wie mit der ersten Methode:
J =int(int(int( f * r^2*sin u, u = 0 ..Pi),v=0..2*Pi),r=0..1) = 4*Pi / e
Bildet man wiederum M = J / V , so kommt:
M = 3 / e.
Zum Verständnis wird es nötig sein, einzelne Teilintegrale in b)
separat zu rechnen. Es treten die folgenden Integrale auf:
(1)
Integration nach u: int [ e^ ( -r * cos u) * du ] mit Substitution
oder durch Probieren ( r ist als eine Konstante anzusehen).
Resultat: 1 / r * e ^ ( - r * cos u ); Probe:...
(2)
Integration nach r : int [ ( r * e ^ r - r * e ^ ( - r ) ) * dr ]
Methode der partiellen Integration
Resultat:
e ^ ( - r ) + r * e ^ ( - r ) - e ^ r + r * e ^ r ; Probe:...
Selbstverständlich sind die zugeordneten Grenzen
der Integrale sorgfältig zu berücksichtigen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Inga M.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 12:31: |
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Vielen Dank!
Wollte gerade nochmal nach der Lösung mit 3- fach Integral fragen.
Grüße, Inga |
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