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Beitrag |
    
Alex
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 09:33: | 
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Hallo,
irgendwie weiß ich leider nicht so viel mit dieser Aufgabe anzufangen:
Gegeben sind 2 Geraden:
x=(-1,0,2)+t(3,-1,0); x = (0,1,0) +t(-2,1,1)
Schneiden sich die Geraden oder sind sie windschief? Berechnen Sie den Schnittpunkt bzw. die Fußpunkte ihres Lots!
Also ich bin mir sicher, dass die Geraden windschief sind, bin aber zu doof dies per GLS zu zeigen. Aber mit Fußpunkten kann ich absolut nix anfangen.
Vielen Dank für die Hilfe im Vorraus.
Alex |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 12:16: |
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Hi Alex,
Zuerst weisen wir nach, dass die beiden Geraden g und h
tatsächlich windschief sind .
Bei der folgenden Berechnung ist es zweckmässig, die
beiden Parameter der Geradengleichungen verschieden zu
bezeichnen, den ersten etwa mit t , den zweiten mit s.
Die Parametergleichungen heissen mithin:
für g : x = - 1 + 3 t , y = - t , z = 2
für h : x = - 2 s , y = 1 + s , z = s
Die Geraden sind sicher nicht parallel, da ihre
Richtungsvektoren nicht kollinear sind
Wir nehmen an , die Geraden würden sich schneiden und führen
diese Annahme ad absurdum.
Wir setzen die Koordinaten paarweise einander gleich :
gleiche z-Koordinaten ; daraus folgt s = 2
gleiche y-Koordinaten ; aus - t = 1 + s folgt mit s = 2 sofort t = - 3
Setzt man diese Werte in die Beziehung ein, die durch Gleichsetzung
der x -Werte entsteht, so folgt die falsche Aussage:
- 10 = - 4 , somit können die Geraden sich nicht schneiden, q.e.d.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 13:15: |
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Hi Alex ,
Wenn zwei Geraden g und h windschief sind,
so gibt es eine sogenannte Minimaltransversale t ,
eine Gerade , welche die beiden Geraden g und h
je senkrecht schneidet und zwar g in F und h in G .
Die Punkte F und G sind die im Aufgabentext
genannten Fusspunkte
Die Länge der Strecke FG ist übrigens der kürzeste
Abstand der windschiefen Geraden.
Ermittlung der beiden Fusspunkte der gemeinsamen
Lotgeraden t.
F auf g entspreche der Parameterwert t = to,
G auf h der Parameterwert s = so.
Wir fordern nun, dass der Verbindungsvektor v = FG
auf den Richtungsvektoren a und b der Geraden g und h
je senkrecht steht. Um dies zu erreichen, setzen wir das
entsprechende Skalarprodukt null
Die Daten sind:
Vektor FG = { - 2 so + 1 - 3 to ; 1 + so + to ; so - 2 }
Richtungsvektor a von g : a = { 3 ; - 1 ; 0 }
Richtungsvektor b von h : b = { - 2 ; 1 ; 1 }
Skalarprodukte null :
FG . a = 0 führt auf eine erste Gleichung für s = so , t = to
- 6 so + 3 - 9 to - 1 - so - to = 0 oder
- 7 so - 10 to + 2 = 0.............................................................(I)
und FG . b = 0 auf
4 so - 2 + 6 to +1 + so + to + so - 2 = 0 oder
6 so + 7 to - 3 = 0..................................................................(II)
Aus (I) und (II) berechnen wir:
to = - 9 / 11 , so = 16 / 11
Dies setzen wir in die Geradengleichungen ein und erhalten
die gesuchten Punkte F und G :
F :xF = - 38 / 11, yF = 9 / 11 , z F = 2
G: xG = - 32 / 11 , yG = 27 /11 , z G = 16 / 11
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Der kürzeste Abstand ist d = Abstand FG = 1/11* Wurzel(396).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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