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martin (Martin0019)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 21:06: | 
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Hallo! Ich benötige mal wieder eure Hilfe!
Folgende Aufgaben scheine ich nicht recht zu verstehen:
1.) Sei
f(t)=
(e^t cos(2Pi t))
(e^t sin(2Pi t)), t element |R, eine logarithmische Spirale!
Berechne die Kurve für t element [-1,1]
Existiert lim a gegen -unendlich La,0?
2.)Unter einem "Weg r=g(y), a<=y<=b, in Polarkoodinaten" verstehe man die Kurve:
f(y)=
(g(y) cos y)
(g(y) sin y), a<=y<=b
wobei g stetig und nicht negativ ist!
a.) Zeige: Ist g stetig diffrenzierbar, so ist die Länge der Kurve gleich:
int von a bis b Sqrt((g(y))^2+(g'(y))^2)dy
b Berechne die Länge der Kurve r=a(1+cosy), 0<=y<=2Pi, a>0 fest(Kardioide oder Herzkurve.
Hinweis: sqrt(1+cos x)= sqrt(2)cosx/2, 0<=x<=Pi |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juni, 2001 - 08:29: |
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Hallo :
1.) In der Tat, das kann man nicht verstehen.
2.) Die Darstellung in Polarkoordinaten ist
eine spezielle Parameterdarstellung einer Kurve
C : x = u(t), y = v(t) ; a =< t =< b ,
naemlich t = phi = Polarwinkel, r = g(t),
u(t) = g(t)*cos(t) , v(t) = g(t)*sin(t).
Wegen u'(t) = g'(t)*cos(t)-g(t)*sin(t) etc.
schreibt sich die bekannte Bogenlaengenformel
nunmehr
s = int[a..b]sqrt{u'(t)^2+v'(t)^2}dt
= int[a..b]sqrt{g'(t)^2 + g(t)^2}dt.
FŸr die Kardioide ergibt sich
s = a*int[0..2Pi]sqrt(2+2cos(t))dt =
= 2a*int[0..2Pi] |cos(t/2)| dt =
= 8a*int[0..Pi/2] cos(u) du
= 8a.
Gruss
Hans |
martin (Martin0019)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 10:27: |
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Danke Hans! Die Aufgaben treiben mich immer zur Verweifelung, weil es niemand richtig erklärt! Der Prof. spricht in Rätseln und Übungsleiter schreibt nur die Lösung an die Tafel! Grausam! |
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