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Beitrag |
    
Sven
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 15:00: | 
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Hallo zusammen!
Ich glaub ich hab' hier eine nicht ganz einfache Aufgabe, die ich für einen Vortrag brauche und allein nicht weiter komme.
Vielleicht hat ja jemand schon einmal was über zerlegbare Matrizen gehört, dann wär es echt klasse wenn er oder sie mir helfen könnte!!!!
Ich muss folgenden Satz beweisen:
Eine k (kreuz) k Matrix ist unzerlegbar, falls A + A^2 + A^2 + ... + A^k > 0
Beweis:
Beweis soll mit Hilfe folgender Aufgaben geführt werden:
Aufgabe3: Benutze Aufgabe 1 und 2 um zu zeigen, dass k (kreuz) k Matrix A unzerlegbar ist, falls und nur falls A + A^2 + A^3 + ... + A^k > 0
(Vorschlag: Falls aij^(n) > 0 und n > k betrachte {j1,j2,...,jn-1) und zeige dass aij^(n') > 0 für ein n' < n.)
Aufgabe1: zeigen sie dass die folgenden zwei Aussagen wahr sind, falls und nur falls A unzerlegbar ist:
a) A + A^2 + A^3 + ... + A^n > 0 für ein n>=1
b) Für jedes i, j gibt es ein m ( in Abhängigkeit von i und j), so dass aij^(m) > 0
[Hinweis: Zeigen sie erst, dass a) gilt , wenn b) gilt. Nun nehmen sie an, dass b) falsch ist. Es folgt, dass für irgendein i, j aij^(m) = 0 für alle m>=1. Sei S= U(= Vereinigung m>0) {l : alj^(m)> 0 } und T = U(m>0){l:ail^(m) > 0}.
zeigen sie, dass S (schnitt) T = leer ( Anmerkung: aij^(m+n) >= ail^(m)alj^(n)).
Falls S = leer ist alj = 0 für alle l; so ist Spalte j von A null und folglich ist A zerlegbar( Warum?). Falls T = leer zeigen sie dass A zerlegbar.Als nächstes zeigen sie dass alp = 0 falls p (element) S und l (nicht element) S( Anmerkung: alj^(m+1) >= alp*apj^(m)).Zuletzt zeigen sie, dass falls S = {l1,l2,...,ls} und die ersten s Spalten l1,l2,...,ls von I und die letzten k-s Spalten von P die restlichen Spalten von I sind, dann
(C D)
P^(-1)AP = (0 E)
( hier wird die Matrix immer verschoben: oben soll C und D stehen unten 0 und E)
wobei C eine s(kreuz)s matrix ist und 1<=s<=k]
Ich weiß, dass die Aufgabe heftig ist. falls jemand doch den Ehrgeiz entwickelt, daran rumzuprobieren, dann wär das echt super.
Vielleicht ist es ja leichter als es aussieht. |
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