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Astrid Lindner (Wonne)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 08:17: |
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Hallo zusammen... Ich weiß nicht so recht wie weiter... -man stelle die Taylorreihe für y= arctan x auf -aus einer Formelsammlung entnimmt man folgende Relation arctan x + arctan y =arctan x+y/1-xy xy >1 -daraus gewinnt man pi/4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239 -man berechne pi auf 4 Stellen genau danke für eure Bemühungen...Wonne |
Astrid Lindner (Wonne)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 12:44: |
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Hat schon jemand mal einen Blick drauf geworfen...? Wonne |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 14:06: |
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Hallo : Wir gehen aus von arctan(x) = int(0..x)[1/(1+t^2)]dt und von der geometrischen Reihe sum(k=0..n-1)[(-1)^k*t^(2k)]= =[1-(-t^2)^n)]^/(1+t^2) ==> 1/(1+t^2) = sum(k=0..n-1)[(-1)^k*t^(2k) + + (-t^2)^n/(1+t^2). Integriere dies von 0 bis x: arctan(x) = = sum(k=0..n-1)[1/(2k+1)*(-1)^k*x^(2k+1) + R(n) wobei R(n) = (-1)^n*int(0..x)[t^2k/(1+t^2)]. Wegen 1+t^2 >= 1 ist der Integrand =< t^2, also |R(n)| =< |int(0..x)t^2 dt| = |x|^(2n+1)/(2n+1) FŸr |x|=<1 strebt dies gegen 0, wenn n-->oo. Daher gilt fŸr |x| =< 1 : arctan(x) = sum(k=0..oo)[1/(2k+1)*(-1)^k*t^(2k+1). Das ist die gwŸnschte arctan-Reihe. Gruss Hans |
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