| Autor |
Beitrag |
    
Markus Pöstinger (Sinister)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 13:07: | 
|
Ich muß für das elliptische Integral
K(k) = ò0 p/2 dx / sqrt(1-(k2*(sin2x)) , k2 < 1
eine Lösung in Form einer Potenzreihe angeben.
Der Ansatz ist, daß man doch auf K(k) = Sinf n=0cnkn kommen muß.
Und da die Formel für die Binomialreihe (1+x)a = Sinf k=0(a über k)*xk ist, ist doch
(1-k2*sin2x)1/2 = Sinf n=0(-1/2 über n)*(-k2*sin2x)n
Wie komme ich aber von da an weiter? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 16:24: |
|
Hi Markus,
Ich leite Dir für das elliptische Integral erster Gattung
F(k, phi) eine Reihenentwicklung her.
Wir fangen vorne an.:
Man erhält F(k, phi) , indem man im Integral
J = int [ dx / wurzel {(1 - x^ 2) * (1- k^2 * x^2 )} ]
untere Grenze 0, obere Grenze x
die Substitution x = sin (phi) , dx = cos (phi)* d(phi)
ausführt.
Durch die angegebene Substitution wird J zu F(k, phi).
Wir erhalten:
F(k,phi) = int [d(phi) / wurzel { 1- k^2 * (sin(phi))^2 }]
untere Grenze 0 ,obere Grenze phi;
k heisst Modul und es gilt k^2 < 1.
Entwickelt man nun den Integranden nach Potenzen von
k^2 * {sin(phi)} ^ 2, so erhält man:
[1- k^2 * { (sin (phi) }^ 2] ^ (- ½ ) =
1+ ½ * k ^2 * {sin(phi)}^2 + [(1*3) / (2*4)] *k^4* {sin(phi)}^ 4 +
+ (1*3*5) / (2*4*6) * k ^6 * {sin(phi)}^ 6+.....................................(I)
Man darf in den genannten Grenzen gliedweise integrieren
(wir wählen im folgenden als obere Grenze ½ * Pi, die untere
ist nach wie vor 0; das entsprechende Integral wird mit F(k,1/2 Pi )
bezeichnet.
Die Integrale lassen sich alle mit Hilfe von Rekursionsformeln
berechnen.
Die betreffenden Werte sind früher in diesem Forum behandelt
worden und lauten (Integrationsgrenzen null , ½ Pi):
int [{sin(phi)} ^ (2m)} * d(phi) ] =
(2m - 1) / (2m) * int [ {sin(phi) }^(2m-2) * d(phi)] =
= [(2m-1)*(2m-3) *.......*1] / [(2m)*(2m-2)*.........*2] * ½ Pi
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 18:27: |
|
Hi Markus,
Alles nötige ist vorbereitet, um die Entwicklung des
sogenannten vollständigen elliptischen Integrals
erster Gattung in eine unendliche Reihe anzuschreiben:
F(k, ½ Pi) = K =
= ½ * Pi * { 1 + (1/2)^2 * k^2 + [(1*3)/(2*4)] ^2 * k ^ 4
+ [(1*3*5) / (2*4*6)] ^2 * k ^ 6 +.. ad infinitum}
Anmerkungen
1)
Analog kann man das elliptische Integral zweiter Gattung
bearbeiten und E(k, ½ Pi)in eine Reihe entwickeln.
Dazu bist Du nun jetzt sicher in der Lage !
2)
Beim elliptischen Integral zweiter Gattung steht die
Anwendung auf die Berechnung der Längen von
Ellipsenbögen im Vordergrund.
Auf elliptische Integrale erster Gattung stossen wir
bei der Berechnung der Schwingungsdauer T
eines mathematischen Pendels der Länge L
(Erdbeschleunigung g).
Wir erhalten die Reihenentwicklung
T = 2 * Pi* wurzel (L/g) * [1 + (1/2)^2 * k^2 + ((1*3)/(2*4))^2 * k^4 +...
mit k = sin( alpha /2), wobei alpha den Amplitudenwinkel
darstellt, d.h. den grössten Wert des Auslenkungswinkels bei
der Schwingung des Pendels.
Das soll vorläufig genügen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Markus Pöstinger (Sinister)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 19:26: |
|
Ja, vielen Dank, das hat mir sehr geholfen, aber eine Frage noch:
> Man darf in den genannten Grenzen gliedweise
> integrieren.
Warum darf man dies eigentlich? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 20:50: |
|
Hi Markus,
In Beantwortung Deiner Frage folgendes
a) in grauer Vorzeit habe ich in diesem Forum
die binomische Entwicklung für die Wurzel
f(x) = wurzel(1+x) hergeleitet.
Du findest die Arbeit im Archiv unter dem
Stichwort
" (1*3*5) /(2*4*6) "
Es wird Dir nicht schwer fallen ,
1 / wurzel (1+ x ) selbständig zu entwickeln
Die Sache mit der Rekursionsformel für (sin x ) ^ (2m )
ist auch irgendwo im Archiv zu finden.
Wenn nicht , schau in der Literatur nach..
b) Es gilt der Satz.
Ist r > 0 der Konvergenzradius einer Potenzreihe in x
und ist die Reihe (bedingt oder unbedingt) konvergent
für x = r, so ist sie für 0 < = x < = r gleichmässig konvergent.
Die in Frage stehenden binomischen Reihen erfüllen
diese Bedingung; mit anderen Worten:
Die Reihen sind gleichmässig konvergent und zwar für
-1 < = x < = +1.
c)Wenn eine Reihe gleichmässig konvergiert, so darf
die Reihe gliedweise integriert werden.
Für Beweise zu b ) und c ) muss ich auf die einschlägige
Literatur verweisen.
Mit freundlichen Grüssen.
H.R.Moser,megamath. |
|
